Question

Найдите промежутки вырастания, убывания функции y=x+cosx

Answer 1

Y' = 1 - sin x >= 0 при всех x, так как sin x <= 1.
y' >= 0, поэтому функция возрастает на всей R, промежутков убывания нет

Answer 2

Функция y = x * cos(x) является комбинацией полинома первой степени и тригонометрической функции и имеет бесконечное количество промежутков вырастания и убывания.

Для того чтобы найти промежутки вырастания и убывания функции, мы должны исследовать производную функции. Производная функции y = x * cos(x) может быть найдена с помощью правила производной произведения.

Производная функции y по x равна производной x по x, умноженной на cos(x), плюс x, умноженное на производную cos(x) по x.

$$ \frac{dy}{dx} = \cos(x) - x \sin(x) $$

Промежутки вырастания функции находятся при значениях x, при которых производная больше нуля, а промежутки убывания функции находятся при значениях x, при которых производная меньше нуля.

Для нахождения промежутков вырастания и убывания, мы должны решить неравенство производной функции:

$$ \cos(x) - x \sin(x) > 0 $$

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать график производной функции или алгоритм численного метода, такой как метод бисекции или метод Ньютона.

График функции и ее производной

Давайте построим график функции y = x * cos(x) и ее производной, чтобы наглядно увидеть промежутки вырастания и убывания.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = x * np.cos(x)
dy_dx = np.cos(x) - x * np.sin(x)

plt.plot(x, y, label='y = x * cos(x)')
plt.plot(x, dy_dx, label='dy/dx = cos(x) - x * sin(x)')
plt.axhline(y=0, color='black', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Построив график функции y = x * cos(x) и ее производной, мы можем наблюдать, что промежутки вырастания функции находятся в областях, где производная положительна, а промежутки убывания функции - в областях, где производная отрицательна.

Решение неравенства

Мы также можем решить неравенство аналитически, используя свойства функции cos(x) и sin(x) и методы алгебры. Однако, такое решение будет более сложным и требует более подробного анализа.

В общем случае, решение неравенства $\cos(x) - x \sin(x) > 0$ может быть достаточно сложным и требует использования численных методов или аппроксимаций для нахождения промежутков вырастания и убывания функции.

Надеюсь, эта информация поможет вам понять промежутки вырастания и убывания функции y = x * cos(x). Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.