Question

Найдите точку минимума функции y=(9-x)e^9-x

Answer 1

y'=-(9-x)e^(9-x)-e^(9-x)=(x-8)e^(x-9)

В точке x=8 нэ меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции \(y = (9 - x)e^{9 - x}\) необходимо найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точку, в которой функция имеет локальный минимум.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции \(y = (9 - x)e^{9 - x}\). Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций и правилом производной экспоненты. \[y = (9 - x)e^{9 - x}\] \[y' = (9 - x)'e^{9 - x} + (9 - x)e^{9 - x}\]

Производная первого слагаемого: \[(9 - x)' = -1\]

Производная второго слагаемого: \[e^{9 - x}\]

Итак, производная функции: \[y' = -e^{9 - x} + (9 - x)e^{9 - x}\] \[y' = (8 - x)e^{9 - x}\]

Нахождение точки минимума

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точку, где функция может иметь локальный минимум: \[(8 - x)e^{9 - x} = 0\]

Это уравнение равносильно \[8 - x = 0\]

Отсюда получаем \[x = 8\]

Проверка на минимум

Для проверки того, что \(x = 8\) действительно соответствует точке минимума, проанализируем знак второй производной в окрестности этой точки. Если вторая производная положительна, то точка \(x = 8\) является точкой локального минимума.

Вторая производная функции: \[y'' = (8 - x)'e^{9 - x} + (8 - x)e^{9 - x}\] \[y'' = (-1)e^{9 - x} + (8 - x)e^{9 - x}\] \[y'' = (7 - x)e^{9 - x}\]

При подстановке \(x = 8\) получаем: \[y'' = (7 - 8)e^{9 - 8} = -e > 0\]

Таким образом, вторая производная отрицательна, что означает, что \(x = 8\) действительно соответствует точке локального минимума.

Ответ

Точка минимума функции \(y = (9 - x)e^{9 - x}\) находится при \(x = 8\), и значение функции в этой точке можно найти, подставив \(x = 8\) в исходную функцию \(y = (9 - x)e^{9 - x}\).