Question

Решите пожалуйста: 2+sinxcosx=2sinx+cosx

Answer 1

2+sinx ·cosx=2sinx+cosx
2-2sinx+sinx·cosx-cosx=0
2(1-sinx)+cosx(sinx-1)=0
2(1-sinx)-cosx(1-sinx)=0
(1-sinx)(2-cosx)=0
1) 1-sinx=0                    2)2-cosx=0     
-sinx=-1                            cosx=2  решений нет , т.к.  -1<cosx<1
sinx=1
x=π\2+2πn    n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем преобразовать его в квадратное уравнение относительно переменной sin(x) или cos(x). Давайте попробуем оба способа.

Решение относительно sin(x):

Мы имеем уравнение: 2sin(x)cos(x) = 2sin(x) + cos(x)

Для начала, мы можем заметить, что оба тригонометрических выражения содержат sin(x), поэтому давайте вынесем его за скобки:

sin(x)(2cos(x) - 2) = cos(x)

Теперь мы можем разделить обе части уравнения на cos(x):

sin(x)(2 - 2cos(x)) = 1

Делим обе части на (2 - 2cos(x)):

sin(x) = 1 / (2 - 2cos(x))

Теперь мы можем использовать тригонометрическую тождественность sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin(x) = 1 / (2 - 2cos(x)) sin(x) = (1 - cos^2(x)) / (2 - 2cos(x))

Теперь мы можем заменить sin(x) на sqrt(1 - cos^2(x)):

sqrt(1 - cos^2(x)) = (1 - cos^2(x)) / (2 - 2cos(x))

Возводим обе части уравнения в квадрат:

1 - cos^2(x) = (1 - cos^2(x))^2 / (2 - 2cos(x))^2

Раскрываем скобки и упрощаем:

1 - cos^2(x) = (1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) / (4 - 8cos(x) + 4cos^2(x))

Умножаем обе части уравнения на (4 - 8cos(x) + 4cos^2(x)):

(4 - 4cos^2(x) - 8cos(x) + 4cos^3(x)) = (1 - 2cos^2(x) + cos^4(x))

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

cos^4(x) + 2cos^3(x) - 6cos^2(x) - 8cos(x) + 3 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной cos(x). Мы можем решить его с помощью методов решения квадратных уравнений.

Решение относительно cos(x):

Мы имеем уравнение: 2sin(x)cos(x) = 2sin(x) + cos(x)

Мы можем выразить cos(x) через sin(x):

cos(x) = (2sin(x) + cos(x)) / (2sin(x))

cos(x) = 1 + (1 / (2sin(x)))

Теперь мы можем заменить cos(x) на 1 + (1 / (2sin(x))) в исходном уравнении:

2sin(x)(1 + (1 / (2sin(x)))) = 2sin(x) + (1 + (1 / (2sin(x))))

Упрощаем выражение:

2sin(x) + 1 = 2sin(x) + 1 + (1 / (2sin(x)))

Вычитаем 2sin(x) и 1 из обеих частей уравнения:

0 = (1 / (2sin(x)))

Таким образом, мы получаем, что 2sin(x) должно быть равно 0. Это возможно только при sin(x) = 0.

Таким образом, решениями данного уравнения являются x = kπ, где k - целое число.

Пожалуйста, обратите внимание, что я предоставил два разных подхода к решению данного уравнения. Вы можете выбрать любой из них в зависимости от ваших предпочтений.