Question

Найдите последнюю цифру числа:а)2001 в степени 2002 в степени 2003б)1999 в степени 2002 в степени 1333

Answer 1

A)  Число вида 10m + 1 в любой степени кончаются на 1 (для доказательства, например, можно применить формулу бинома Ньютона и привести к виду 10M + 1)
б)  Число вида 10m - 1 при возведении в k-ую степень дают такой же остаток при делении на 10, что и (-1)^k (д-во аналогично). Здесь k чётно, поэтому степень сравнима по модулю 10 с единицей, откуда кончается на 1.

Ответ. а) 1; б) 1.

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать теорему Эйлера о функции Пуассона, которая позволяет находить последнюю цифру числа в некоторых степенных выражениях.

Решение:

Найдем последнюю цифру числа \(2001^{2002^{2003}}\):

1. Сначала найдем остаток \(2002^{2003}\) при делении на 4. - Поскольку \(2002 \equiv 2 \pmod{4}\), то \(2002^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 0 \pmod{4}\). - Таким образом, \(2002^{2003}\) делится на 4.

2. Теперь найдем остаток \(2001^{(2002^{2003})}\) при делении на 10. - Сначала найдем остаток \(2001\) при делении на 10: \(2001 \equiv 1 \pmod{10}\). - Так как \(2002^{2003}\) делится на 4, то \(2001^{(2002^{2003})}\) также делится на 4. - Теперь найдем значение \(2001^{(2002^{2003})}\) при делении на 10000 (4 нуля, так как это порядок модуля 10). - Поскольку \(2001 \equiv 1 \pmod{10}\), то \(2001^{(2002^{2003})} \equiv 1 \pmod{10000}\). 3. Таким образом, последняя цифра числа \(2001^{2002^{2003}}\) равна 1.

Найдем последнюю цифру числа \(1999^{2002^{1333}}\):

1. Сначала найдем остаток \(2002^{1333}\) при делении на 4. - Поскольку \(2002 \equiv 2 \pmod{4}\), то \(2002^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}\). - Таким образом, \(2002^{1333}\) делится на 4.

2. Теперь найдем остаток \(1999^{(2002^{1333})}\) при делении на 10. - Сначала найдем остаток \(1999\) при делении на 10: \(1999 \equiv 9 \pmod{10}\). - Так как \(2002^{1333}\) делится на 4, то \(1999^{(2002^{1333})}\) также делится на 4. - Теперь найдем значение \(1999^{(2002^{1333})}\) при делении на 10000 (4 нуля, так как это порядок модуля 10). - Поскольку \(1999 \equiv 9 \pmod{10}\), то \(1999^{(2002^{1333})} \equiv 9 \pmod{10000}\).

3. Таким образом, последняя цифра числа \(1999^{2002^{1333}}\) равна 9.

Ответ:

а) Последняя цифра числа \(2001^{2002^{2003}}\) равна 1.

б) Последняя цифра числа \(1999^{2002^{1333}}\) равна 9.