Question

Помогите, пожалуйста, вычислить предел, используя первый замечательный предел: limx→0 tg3x/sin6x

Answer 1

$lim_{x\to0}{tg3x\over sin6x}=lim_{x\to0}({sin3x\over 3x}{6x\over sin6x}{3x\over 6xcos3x})=1*1*{1\over 2*1}={1\over2}$

Answer 2

Для вычисления предела limx→0 tg(3x)/sin(6x) мы можем использовать первый замечательный предел, который утверждает, что limx→0 sin(x)/x = 1. Мы можем воспользоваться этим результатом, чтобы преобразовать данное выражение и вычислить предел.

Для начала, заметим, что tg(3x) можно представить как sin(3x)/cos(3x). Подставим это выражение в исходное:

limx→0 (sin(3x)/cos(3x)) / sin(6x)

Теперь мы можем разделить числитель и знаменатель на sin(3x):

limx→0 (sin(3x)/cos(3x)) / (sin(6x)/sin(3x))

Далее, мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на sin(3x):

limx→0 (sin(3x)/cos(3x)) * (sin(3x)/sin(6x))

Теперь в числителе мы можем заменить sin(3x)/cos(3x) на tg(3x) с помощью тригонометрического тождества:

limx→0 tg(3x) * (sin(3x)/sin(6x))

Теперь мы можем использовать первый замечательный предел, чтобы заменить sin(3x)/sin(6x) на 1/2:

limx→0 tg(3x) * (1/2)

Наконец, можем вычислить предел tg(3x) при x→0. По определению тангенса, limx→0 tg(x) = 0. Таким образом, получаем:

limx→0 tg(3x) * (1/2) = 0 * (1