Question

Решите уравнение:x^4 + y^4 + 6x^2 *y + y^2 + 16 = 0

Answer 1

x^4 + y^4 + 6x^2 *y + y^2 + 16 = 0

x^4 + y^4 + 6x^2 *y + 9у^2-8y^2 + 16 = 0 

(x^4 + 6x^2 *y + 9у^2) + (y^4 - 8y^2 + 16) = 0 

(x^2 + 3y)^2 + (y^2 - 4)^2 =0

получим систему двух уравнений

(x^2 + 3y)^2 =0                         

(y^2 - 4)^2 =0  

     

х^2 + 3y=0  

y^2 - 4=0  

 

x^2 =- 3y 

y^2 =4

 

х^2=6 

у1=2 - не подходит 

у2=-2 

 

x1=корень из 6  

х2=-корень из 6 

у1=-2

у2=-2

Ответ: (корень из 6; -2) и (-корень  из 6; -2)

Answer 2

Дано уравнение: x^4 + y^4 + 6x^2y + y^2 + 16 = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод подстановки. Давайте предположим, что x^2 = a и y^2 = b. Тогда уравнение принимает вид:

a^2 + b^2 + 6ab + b + 16 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение, используя алгебраические методы. Поскольку это квадратное уравнение относительно переменной a, мы можем применить квадратное уравнение к переменной a:

a^2 + (6b)a + (b^2 + b + 16) = 0.

Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы определить, есть ли решения для a. Если дискриминант меньше нуля, то решений нет. Если дискриминант равен нулю, то есть одно решение. Если дискриминант больше нуля, то есть два решения.

Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = 6b и c = b^2 + b + 16. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (6b)^2 - 4(1)(b^2 + b + 16).

Упрощаем:

D = 36b^2 - 4b^2 - 4b - 64.

D = 32b^2 - 4b - 64.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для переменной b, используя формулу дискриминанта:

D = (-4)^2 - 4(32)(-64).

D = 16 + 8192.

D = 8208.

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два решения для переменной b. Теперь мы можем решить каждое из этих уравнений для a и, затем, восстановить значения x и y.

Давайте найдем значения b:

b = (-(-4) ± √8208) / (2(32)).

b = (4 ± √8208) / 64.

b = (4 ± 8√257) / 64.

Теперь найдем значения a, используя полученные значения b:

Для первого значения b:

a = -[(6b) ± √((6b)^2 - 4(b^2 + b + 16))] / 2.

a = -[(6(4 + 8√257)) ± √((6(4 + 8√257))^2 - 4((4 + 8√257)^2 + (4 + 8√257) + 16))] / 2.

a = -[(24 + 48√257) ± √(36(16 + 32√257 + 64) - (16 + 32√257 + 64) - 8√257 - 16))] / 2.

a = -[(24 + 48√257) ± √(576 + 1152√257 + 2304 - 16 - 32√257 - 64 - 8√257 - 16))] / 2.

a = -[(24 + 48√257) ± √(2496 + 1112√257)] / 2.

Для второго значения b:

a = -[(6b) ± √((6b)^2 - 4(b^2 + b + 16))] / 2.

a = -[(6(4 - 8√257)) ± √((6(4 - 8√257))^2 - 4((4 - 8√257)^2 + (4 - 8√257) + 16))] / 2.

a = -[(24 - 48√257) ± √(36(16 - 32√257 + 64) - (16 - 32√257 + 64) - 8√257 - 16))] / 2.

a = -[(24 - 48√257) ± √(576 - 1152√257 + 2304 - 16 + 32√257 - 64 - 8√257 - 16))] / 2.

a = -[(24 - 48√257) ± √(2496 - 1112√257)] / 2.

Теперь мы найдем значения x и y, используя полученные значения a и b:

Для первого значения a и b:

x^2 = a.

y^2 = b.

Для второго значения a и b:

x^2 = a.

y^2 = b.

Таким образом, мы нашли все возможные значения x и y, которые являются решениями данного уравнения.