Question

Используя метод введения новой переменной, решите уравнение:1) (х2-8)2+3,5(х2-8)-2=02) )1+х2)+0,5(1+х2)-5=0

Answer 1

1) (x²-8)²+3.5(x²-8)-2=0

Пусть x²-8=k

k²+3.5k-2=0

D= 12.25+8=20.25

k₁=(-3.5+4.5)/2=0.5

x²-8=0.5

x²=8.5

x₁=±√8

k₂=(-3.5-4.5)/2=-4

x²-8=-4

x²=4

x₂=±2

 

2) (1+x²)²+0.5(1+x²)-5=0

пусть 1+x²=k

k²+0.5k-5=0

D=0.25+20=20.25

k₁=(-0.5+4.5)/2=2

1+x²=2

x²=1

x₁=±1

k₂=(-0.5-4.5)/2=-2.5

1+x²=-2.5

x²=-3.5

решений нет

 

Answer 2

1)t=x^2-8,  t1=4, t2=-0.5 следовательно $x1=\sqrt{12}$ , x2=$x2=\sqrt{7.5}$

2) t=1+x^2, t=2 следовательно , х=1.

кажется, верно

Answer 3

Решение уравнений с использованием метода введения новой переменной

Для решения уравнений с использованием метода введения новой переменной, мы будем использовать замену переменной, чтобы свести исходное уравнение к уравнению с одной переменной, которое будет проще решить. Затем мы найдем значения новой переменной и заменим их обратно, чтобы найти значения исходной переменной.

Уравнение 1: (x^2 - 8)^2 + 3.5(x^2 - 8) - 2 = 0

Для начала введем новую переменную, например, \( u = x^2 - 8 \). Теперь у нас есть уравнение вида \( u^2 + 3.5u - 2 = 0 \), которое легче решить.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя обычные методы, такие как квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \).

Решение уравнения \( u^2 + 3.5u - 2 = 0 \): 

Используем квадратное уравнение для нахождения значений переменной \( u \): \[ u = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

где в нашем случае:

\[ a = 1, b = 3.5, c = -2 \]

\[ u = \frac{-3.5\pm\sqrt{3.5^2-4*1*(-2)}}{2*1} \] \[ u = \frac{-3.5\pm\sqrt{12.25+8}}{2} \] \[ u = \frac{-3.5\pm\sqrt{20.25}}{2} \] \[ u = \frac{-3.5\pm4.5}{2} \]

Таким образом, мы получаем два возможных значения для \( u \): \[ u_1 = \frac{-3.5+4.5}{2} = 0.5 \] \[ u_2 = \frac{-3.5-4.5}{2} = -4 \]

Теперь, зная значения \( u \), мы можем найти значения переменной \( x \) обратной заменой \( x^2 - 8 = u \): \[ x^2 = u+8 \] \[ x = \pm\sqrt{u+8} \]

Таким образом, для \( u_1 = 0.5 \), получаем: \[ x_1 = \sqrt{0.5+8} \] \[ x_1 \approx \sqrt{8.5} \]

или \[ x_2 = -\sqrt{0.5+8} \] \[ x_2 \approx -\sqrt{8.5} \]

Для \( u_2 = -4 \), получаем: \[ x_3 = \sqrt{-4+8} \] \[ x_3 = \sqrt{4} = 2 \]

или \[ x_4 = -\sqrt{-4+8} \] \[ x_4 = -\sqrt{4} = -2 \]

Таким образом, решение уравнения \( (x^2 - 8)^2 + 3.5(x^2 - 8) - 2 = 0 \) состоит из четырех корней: \[ x_1 \approx \sqrt{8.5}, x_2 \approx -\sqrt{8.5}, x_3 = 2, x_4 = -2 \]

Уравнение 2: 1 + x^2 + 0.5(1 + x^2) - 5 = 0

Также введем новую переменную, например, \( v = 1 + x^2 \). Теперь у нас есть уравнение вида \( v + 0.5