Question

Помогите решить,пожалуйста!!!!tg(45 + α ) - tg (45 - α ) = 2 tg 2 α

Answer 1

$tg \alpha -tg \beta =\frac{sin \alpha }{cos \alpha }-\frac{sin \beta }{cos \beta }=\frac{sin \alpha cos \beta -sin \beta cos \alpha }{cos \alpha cos \beta }=\frac{sin( \alpha - \beta )}{cos \alpha cos \beta }\\\\tg(45+ \alpha )-tg(45- \alpha )=\frac{sin(45+ \alpha -45+ \alpha )}{cos(45+ \alpha )cos(45- \alpha )}=\frac{sin2 \alpha }{\frac{1}{2}(cos90+cos2 \alpha )}=\\\\=\frac{2sin2 \alpha }{cos2 \alpha }=2tg2 \alpha$

Answer 2

Привет! Я рад помочь тебе с решением этого уравнения. Давай разберемся по шагам.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Для начала, давай заменим `tg` на его эквивалентное выражение в терминах синуса и косинуса. Тогда уравнение будет выглядеть так:

(sin(45 + α) / cos(45 + α)) - (sin(45 - α) / cos(45 - α)) = 2 * (sin(2α) / cos(2α))

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Для сокращения выражения, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет `cos(45 + α) * cos(45 - α) * cos(2α)`. После этого уравнение примет вид:

(sin(45 + α) * cos(45 - α) * cos(2α) - sin(45 - α) * cos(45 + α) * cos(2α)) / (cos(45 + α) * cos(45 - α) * cos(2α)) = 2 * (sin(2α) / cos(2α))

Шаг 3: Упрощение и решение уравнения

Теперь упростим числитель дроби, раскрыв скобки и использовав формулы синуса и косинуса для суммы и разности углов:

(sin(45) * cos(α) * cos(45) * cos(α) * cos(2α) - sin(45) * cos(α) * cos(45) * cos(α) * cos(2α)) / (cos(45 + α) * cos(45 - α) * cos(2α)) = 2 * (sin(2α) / cos(2α))

Используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, получим:

(0.707 * cos(α) * 0.707 * cos(α) * cos(2α) - 0.707 * cos(α) * 0.707 * cos(α) * cos(2α)) / (cos(45 + α) * cos(45 - α) * cos(2α)) = 2 * (2 * sin(α) * cos(α) / (cos^2(α) - sin^2(α)))

Упростим числитель и знаменатель, и приведем выражение к общему виду:

0 = 2 * (2 * sin(α) * cos(α) / (cos^2(α) - sin^2(α)))

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь, чтобы найти значения угла α, нам нужно решить полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на 2:

0 = (2 * sin(α) * cos(α) / (cos^2(α) - sin^2(α))) / 2

Упростим и поделим числитель на 2:

0 = sin(α) * cos(α) / (cos^2(α) - sin^2(α))

Теперь, чтобы уравнение стало равным нулю, числитель должен быть равен нулю:

sin(α) * cos(α) = 0

Так как произведение синуса и косинуса равно нулю, это возможно только в двух случаях:

1. sin(α) = 0 2. cos(α) = 0

Решение уравнения

1. sin(α) = 0

Это означает, что угол α равен 0 или π (или любое другое целое кратное π).

2. cos(α) = 0

Это означает, что угол α равен π/2 или 3π/2 (или любое другое целое кратное π/2).

Таким образом, уравнение `tg(45 + α) - tg(45 - α) = 2 * tg(2α)` имеет бесконечное множество решений, которые могут быть выражены в виде α = 0 + kπ, α = π/2 + kπ/2, где k - целое число.

Пожалуйста, учти, что данный аналитический подход предоставляет общую форму решения уравнения, но он не предоставляет конкретные значения для α. Если у тебя есть конкретные значения для α, ты можешь подставить их в уравнение, чтобы проверить, выполняется ли равенство.