Question

Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу 5^n*3^2n-2^3n кратне 37.

Answer 1

Ответ в приложении ()()()()()()()()()**

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение \(5^n \times 3^{2n} - 2^{3n}\) кратно 37 для любого натурального числа \(n\), мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Для \(n = 1\) мы имеем: \(5^1 \times 3^{2 \cdot 1} - 2^{3 \cdot 1} = 5 \times 3^2 - 2^3 = 5 \times 9 - 8 = 45 - 8 = 37\) Таким образом, базовый шаг выполняется.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого фиксированного \(k\) выполняется условие: \(5^k \times 3^{2k} - 2^{3k}\) кратно 37.

Индукционный шаг:

Докажем, что если условие выполняется для \(k\), то оно также выполняется и для \(k+1\). Рассмотрим выражение \(5^{k+1} \times 3^{2(k+1)} - 2^{3(k+1)}\): \(5^{k+1} \times 3^{2(k+1)} - 2^{3(k+1)}\) \(= 5 \times 5^k \times 3^{2k} \times 3^2 - 2^3 \times 2^{3k}\) \(= 5 \times (5^k \times 3^{2k} - 2^{3k}) \times 9 - 8 \times 2^{3k}\) Здесь мы использовали предположение индукции, и поэтому \(5^k \times 3^{2k} - 2^{3k}\) кратно 37. Таким образом, это выражение можно записать как: \(= 5 \times (37n) \times 9 - 8 \times 2^{3k}\) \(= 37 \times (5 \times 9n) - 8 \times 2^{3k}\) \(= 37 \times (45n) - 8 \times 2^{3k}\) \(= 37 \times (45n - 8 \times 2^{3k-2})\)

Таким образом, мы видим, что \(5^{k+1} \times 3^{2(k+1)} - 2^{3(k+1)}\) также делится на 37.

Заключение:

Мы показали, что базовый шаг выполняется и что если условие выполняется для \(k\), то оно выполняется и для \(k+1\). Поэтому, по принципу математической индукции, мы можем сделать вывод, что выражение \(5^n \times 3^{2n} - 2^{3n}\) кратно 37 для любого натурального числа \(n\).