Question

Докажите что при любом натуральном n значение 10^n+19^n-2 кратно 9

Answer 1

$10^n\equiv(10-9)^n(\mod 9)\equiv1(\mod9)\\19^n\equiv(19-18)^n(\mod9)\equiv1(\mod9)\\\\1+1-2\equiv0(\mod9)$

Дает остаток 0 при делении на 9. Что и требовалось доказать

Answer 2

Чтобы доказать, что при любом натуральном числе n выражение 10^n + 19^n - 2 кратно 9, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базисный шаг:

Для n = 1: 10^1 + 19^1 - 2 = 10 + 19 - 2 = 27, что является кратным 9, так как 27 = 9 * 3.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого натурального числа k выражение 10^k + 19^k - 2 кратно 9.

Индукционный шаг:

Мы должны доказать, что если предположение индукции верно для числа k, то оно также верно для числа k+1.

Рассмотрим выражение 10^(k+1) + 19^(k+1) - 2: 10^(k+1) + 19^(k+1) - 2 = (10^k * 10) + (19^k * 19) - 2

Мы можем разложить 10^k на множители: 10^(k+1) + 19^(k+1) - 2 = (9 * 10^k + 10^k) + (9 * 19^k + 19^k) - 2 = 9 * (10^k + 19^k) + (10^k + 19^k) - 2

Заметим, что выражение (10^k + 19^k) является кратным 9, так как мы предположили, что оно кратно 9 для числа k. Тогда:

10^(k+1) + 19^(k+1) - 2 = 9 * (кратное 9) + (кратное 9) - 2

Таким образом, выражение 10^(k+1) + 19^(k+1) - 2 также является кратным 9.

Заключение:

Мы доказали, что при любом натуральном числе n выражение 10^n + 19^n - 2 кратно 9 с помощью метода математической индукции.