Question

1) log₃(x+6)+2log₃(x-3)-3log₃(x-1)=02) Даны векторы a(3;-2;2) и b(-5;6;y). Вектор (a+b) перпендикулярен вектору а. Найти у3) Найти sin(2a), если 20sin²a + 3sina - 2 = 0 a ∈ (0; П/2)

Answer 1

1) log₃(x+6)+2log₃(x-3)-3log₃(x-1)=0;
ОДЗ:
х+6>0
x-3>0
x-1>0
ОДЗ: х>3
Применяем свойства логарифмов.
Логарифм степени, логарифм произведения, логарифм частного.
    log₃(x+6)·(x-3)²/(x-1)³=0;
По определению логарифма
(x+6)(x-3)²/(x-1)³=3⁰;
3⁰=1
(x+6)(x-3)²=(x-1)³;
x³-27x+54=x³-3x²+3x-1;
3x²-30x+55=0
D=900-4·3·55=240
х=(30-4√15)/6 <3 не удовл ОДЗ         или    х=(30+4√15)/6=5+(2√15/3).

2) Даны векторы a(3;-2;2) и b(-5;6;y). Вектор (a+b) имеет координаты
(a+b)(-2;4;2+y)
Если векторы взаимно перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно 0. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.
-2·3+4·(-2)+(2+у)·2=0;
-6-8+4+4у=0;
4у=10
у=2,5
3)  20sin²a + 3sina - 2 = 0 - квадратное уравнение.
   D=9-4·20·(-2)=169
sina=(-3-13)/40=-16/40=-4/10   или  sina=(-3+13)/40=10/40=1/4
 a ∈ (0; П/2)
значит  sina>0
sina= (-4/10) не удовлетворяет  этому условию.
sina=1/4⇒ cosα=√(1-sin²a)=√(1-(1/16))=(√15)/4
sin2a=2sina·cosa=2·(1/4)·(√15)/4=(√15)/8.

Answer 2

1) Решение уравнения log₃(x+6) + 2log₃(x-3) - 3log₃(x-1) = 0:

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов и преобразовать его в эквивалентное уравнение:

log₃(x+6) + 2log₃(x-3) - 3log₃(x-1) = 0

Используя свойство логарифмов logₐ(b^c) = c*logₐ(b), мы можем переписать уравнение в следующем виде:

log₃(x+6) + log₃((x-3)^2) - log₃((x-1)^3) = 0

Затем, используя свойство логарифмов logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c), мы можем объединить логарифмы с одинаковыми основаниями:

log₃((x+6) * (x-3)^2) - log₃((x-1)^3) = 0

Далее, используя свойство логарифмов logₐ(b) - logₐ(c) = logₐ(b / c), мы можем объединить логарифмы в один:

log₃(((x+6) * (x-3)^2) / (x-1)^3) = 0

Теперь, используя свойство логарифма logₐ(b) = c эквивалентно a^c = b, мы можем записать уравнение в виде:

((x+6) * (x-3)^2) / (x-1)^3 = 3^0

Так как 3^0 = 1, получаем:

((x+6) * (x-3)^2) / (x-1)^3 = 1

Далее, упростим числитель:

(x+6) * (x-3)^2 = (x-1)^3

Раскроем квадрат и куб:

(x+6) * (x-3) * (x-3) = (x-1) * (x-1) * (x-1)

(x+6) * (x^2 - 6x + 9) = (x^2 - 2x + 1)

Раскроем скобки:

x^3 - 6x^2 + 9x + 6x^2 - 36x + 54 = x^2 - 2x + 1

Упростим:

x^3 - x^2 - 47x + 53 = x^2 - 2x + 1

x^3 - 2x^2 + 45x + 52 = 0

Для решения данного кубического уравнения потребуется использовать численные методы или графический метод. Решение данного уравнения можно найти с помощью программ или онлайн-калькуляторов, которые предоставляют результаты численного решения уравнений.

2) Нахождение y, если вектор (a+b) перпендикулярен вектору а:

Для того чтобы вектор (a+b) был перпендикулярен вектору а, их скалярное произведение должно быть равно 0:

a * (a+b) = 0

Раскроем скобки и решим уравнение:

(3, -2, 2) * (3, -2, 2) + (3, -2, 2) * (-5, 6, y) = 0

(3*3 + (-2)*(-2) + 2*2) + (3*(-5) + (-2)*6 + 2*y) = 0

9 + 4 + 4 - 15 - 12 + 2y = 0

5 + 2y = 0

2y = -5

y = -5/2

Таким образом, значение y равно -5/2.

3) Нахождение sin(2a), если 20sin²a + 3sina - 2 = 0, a ∈ (0; П/2):

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться квадратным уравнением вида as² + bs + c = 0, где s = sin(a).

Заменим s = sin(a) в данном уравнении:

20(s²) + 3s - 2 = 0

Теперь, мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта и получить значение s.

Дискриминант D для данного квадратного уравнения равен:

D = b² - 4ac = (3)² - 4(20)(-2) = 9 + 160 = 169

Так как D > 0, у нас есть два корня:

s₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + √169) / 40 = (-3 + 13) / 40 = 10 / 40 = 1/4

s₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - √169) / 40 = (-3 - 13) / 40 = -16 / 40 = -2/5

Так как a ∈ (0; П/2), мы можем выбрать только положительное значение s, которое равно 1/4.

Теперь, мы можем найти sin(2a) с использованием формулы sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

sin(2a) = 2 * (1/4) * √(1 - (1/4)²) = 1/2 * √(1 - 1/16) = 1/2 * √(15/16) = 1/2 * √15/4 = √15/8

Таким образом, sin(2a) = √15/8.