Question

16 sin x sin 2x sin 4x sin 8x, если х = пи/6

Answer 1

Sin pí/6=1/2
sin pí/3= V3/2
sin 2pí/3=V3/2
sin 4pí/3=-V3/2
16.1/2.V3/2.V3/2.(-V3/2)=8.3/4.(-(V3/2)=- 6.(V3/2)=-3.V3

Answer 2

Для того чтобы найти значение выражения \(16\sin(x) + \sin(2x) + \sin(4x) + \sin(8x)\) при \(x = \frac{\pi}{6}\), мы можем использовать тригонометрические тождества и замены, чтобы упростить выражение и вычислить его значение.

Применение тригонометрических тождеств

Давайте начнем с применения тригонометрических тождеств для упрощения выражения. Мы знаем, что \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) и \(\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)\). Также, \(\sin(8x) = 2\sin(4x)\cos(4x)\). Мы можем использовать эти тождества, чтобы упростить исходное выражение.

Замена угла

Также, мы можем использовать замену угла \(x\) равного \(\frac{\pi}{6}\) для вычисления значения каждого синуса.

Расчет

Теперь давайте рассчитаем значение выражения \(16\sin(x) + \sin(2x) + \sin(4x) + \sin(8x)\) при \(x = \frac{\pi}{6}\).

1. \(16\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\) 2. \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\) 3. \(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) 4. \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\) 5. \(\sqrt{3}\)

Теперь мы можем использовать полученные значения для вычисления всего исходного выражения.

Ответ

Подставляя полученные значения, получаем:

\[16\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 16 \cdot \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[= 16\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{31\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, значение выражения \(16\sin(x) + \sin(2x) + \sin(4x) + \sin(8x)\) при \(x = \frac{\pi}{6}\) равно \(\frac{31\sqrt{3}}{2}\).