Question

Решите уравнение (х в квадрате -2х) (х в квадрате -2х-7)=8

Answer 1

(x²-2x)(x²-2x-7)=8
Замена: a=x²-2x
a(a-7)=8
a²-7a-8=0
По теореме Виета a₁*a₂=-8 и a₁+a₂=7, значит, а₁=8; а₂=-1
x²-2x=8                 и              x²-2x=-1
x²-2x-8=0                              x²-2x+1=0
по т.Виета                            (х-1)²=0
х₁=4; х₂=-2                            х-1=0
                                            х₃=1
Ответ: -2; 1; 4

Answer 2

Для начала решим уравнение (х в квадрате - 2х)(х в квадрате - 2х - 7) = 8.

Решение уравнения

1. Обозначим \(y = x^2 - 2x\). Тогда уравнение примет вид \(y(y - 7) = 8\). 2. Решим полученное квадратное уравнение \(y^2 - 7y - 8 = 0\). 3. Найдем корни данного уравнения с помощью дискриминанта: \(D = (-7)^2 - 4*1*(-8) = 49 + 32 = 81\). 4. Так как дискриминант положителен, то у уравнения два действительных корня: \(y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2*1} = \frac{7 + 9}{2} = 8\) и \(y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2*1} = \frac{7 - 9}{2} = -1\). 5. Теперь найдем значения x, подставляя найденные значения y в выражение \(y = x^2 - 2x\): - Для \(y_1 = 8\): \(x^2 - 2x = 8\). Решим квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\) и найдем корни. - Для \(y_2 = -1\): \(x^2 - 2x = -1\). Решим квадратное уравнение \(x^2 - 2x + 1 = 0\) и найдем корни.

Решение квадратных уравнений

1. Для уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\): - Найдем дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36\). - Так как дискриминант положителен, то у уравнения два действительных корня: \(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2*1} = \frac{2 + 6}{2} = 4\) и \(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2*1} = \frac{2 - 6}{2} = -2\).

2. Для уравнения \(x^2 - 2x + 1 = 0\): - Найдем дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0\). - Так как дискриминант равен нулю, то у уравнения один действительный корень: \(x = \frac{-(-2)}{2*1} = 1\).

Ответ

Таким образом, уравнение \(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 7) = 8\) имеет три корня: - \(x_1 = 4\), - \(x_2 = -2\), - \(x_3 = 1\).