Question

Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения cos^2x+sinx*cosx=1, принадлежащих промежутку (-пи до пи) включительно

Answer 1

Решаем уравнение:
$cos^2x+sinx*cosx=1 \\(1-sin^2x)+sinx*cosx-1=0 \\-sin^2x+sinx*cosx=0 \\sin^2x-sinx*cosx=0 \\sinx(sinx-cosx)=0 \\sinx=0 \\x_1=\pi n,\ n \in Z \\sinx-cosx=0 \\sinx=cosx \\tgx=1 \\x_2= \frac{\pi}{4} +\pi n,\ n \in Z$
проводим отбор корней на промежутке $[-\pi;\pi]$
решаем равенство для 1 корня:
$-\pi \leq \pi n \leq \pi \\-1 \leq n \leq 1$
отсюда нам подойдет n=-1; n=0; n=1 - 3 корня
$n=-1;\ x= -\pi \\n=0;\ x=0; \\n=1;\ x=\pi$
решим еще одно неравенство для 2 корня:
$-\pi \leq \frac{\pi}{4} +\pi n \leq \pi \\-1 \leq \frac{1}{4}+n \leq 1 \\-4 \leq 4n+1 \leq 4 \\-5 \leq 4n \leq 3 \\-1,25 \leq n \leq 0,75$
отсюда нам подойдет n=-1; n=0 - 2 корня
$n=-1;\ x=\frac{\pi}{4} -\pi= -\frac{3\pi}{4} \\n=0;\ x=\frac{\pi}{4}$
ищем среднее арифметическое:
$\frac{-\pi+0+\pi-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}}{5} = \frac{- \frac{\pi}{2} }{5} =- \frac{\pi}{10}$
Ответ: $- \frac{\pi}{10}$