Question

Знаменатель обыкновенной дроьи больше ее числителя на 3 .Если числитель дроби увеличить в 3 раза ,а затем уменьшить на 7, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной.Найдите эту дробь.

Answer 1

Пусть х - числитель дроби, тогда знаменатель (х + 3).
Увеличим числитель в 3 раза и затем вычтем 7: (3х - 7).
Увеличим знаменатель в 2 раза и затем вычтем 11: (2*(х + 3) - 11).
После этого получилась дробь обратная заданной:

$\frac{3x - 7}{2*(x + 3) - 11} = \frac{x + 3}{x} \\ \\ \frac{3x - 7}{2x -5} = \frac{x + 3}{x} \\ \\ (3x-7)x = (x+3)(2x-5) \\ \\ 3x^2 - 7x = 2x^2 - 5x + 6x - 15 \\ \\ x^2 -8x +15 = 0 \\ \\ x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{4^2 - 1*15} = 4 \pm 1 \\ \\ x_1=3 \:\:\:\:\:\: x_2 = 5$

Получилось два решения. Проверим.
1) при x = 3 дробь будет такая:
$\frac{3}{3+3} = \frac{3}{6} \\ \\ \frac{3*3-7}{2*6-11} = \frac{2}{1}$

Значения дробей, конечно, обратные друг другу, т.к. $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Однако в задании требуется, чтобы числитель со знаменателем оказались перевёрнуты.

2) при х = 5 дробь будет такая:
$\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} \\ \\ \frac{3*5-7}{2*8-11} = \frac{15-7}{16-11} = \frac{8}{5}$

То, что надо - дробь перевернулась, т.е. стала обратной исходной.

Ответ: 5/8