Question

1) разложить на множители: x^4+3x^2-4= 2) выделить полный квадрат: 2x^2+7x+5= ?

Answer 1

1) x^4 + 3x^2 - 4 = 0;
x^2 = t;
t^2 + 3t - 4 = 0;
 D = 9 + 16 = 25 = 5^2;
 t1 = 1;
t2 = - 4;
(t-1)(t+4) = 0;
(x^4 + 3x^2 - 4) = (x^2 - 1) (x^2 + 4) =(x-1)(x+1)(x^2 + 4) .
2) 2x^2 + 7x + 5= 2(x^2 + 3,5 x + 2,5) = 2(x^2 + 2*1,75*x + 1,75^2 -1,75^2 + 2,5) =
=2((x+1,75)^2 - 0,5625)= 2(x+1,75)^2  - 1,125
 

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1) Разложение на множители: \(x^4 + 3x^2 - 4\)

Для удобства представим \(x^4\) как \((x^2)^2\), тогда у нас получится следующее:

\[x^4 + 3x^2 - 4 = (x^2)^2 + 4x^2 - x^2 - 4 = (x^2 + 4)(x^2 - 1)\]

Таким образом, \(x^4 + 3x^2 - 4\) раскладывается на множители как \((x^2 + 4)(x^2 - 1)\).

2) Выделение полного квадрата: \(2x^2 + 7x + 5\)

Для выделения полного квадрата преобразуем коэффициент при \(x^2\) в квадрат. Половину коэффициента при \(x\) возьмем и возводим в квадрат, затем прибавим и вычтем этот квадрат:

\[2x^2 + 7x + 5 = 2(x^2 + \frac{7}{2}x) + 5\] \[= 2(x^2 + \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{4}\right)^2 - \left(\frac{7}{4}\right)^2) + 5\] \[= 2\left(x^2 + \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{4}\right)^2\right) - 2\left(\frac{7}{4}\right)^2 + 5\] \[= 2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - \frac{49}{8} + 5\] \[= 2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - \frac{49}{8} + \frac{40}{8}\] \[= 2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}\]

Таким образом, \(2x^2 + 7x + 5\) можно выразить в виде полного квадрата: \(2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}\).