Question

Решите предел, пожалуйста! Икс стремится к бесконечности. lim x(ln(x+3)-lnx)= x->∞

Answer 1

Lim x(ln(x+3)-lnx)=lim x*ln((x+3)/x)=lim x*ln(1+3/x)=lim x*(3/x)=3

Answer 2

Давайте решим данный предел:

\[ \lim_{{x \to \infty}} (x \ln(x+3) - x \ln(x)) \]

Для упрощения этого выражения, давайте вынесем общий множитель \( x \):

\[ x \lim_{{x \to \infty}} (\ln(x+3) - \ln(x)) \]

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов, согласно которому \(\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\):

\[ x \lim_{{x \to \infty}} \ln\left(\frac{x+3}{x}\right) \]

Теперь давайте упростим дробь внутри логарифма:

\[ x \lim_{{x \to \infty}} \ln\left(1 + \frac{3}{x}\right) \]

Так как \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{3}{x} = 0\), то внутри логарифма получается \(1\):

\[ x \lim_{{x \to \infty}} \ln(1) \]

Логарифм от 1 равен 0:

\[ x \cdot 0 = 0 \]

Таким образом, предел равен нулю:

\[ \lim_{{x \to \infty}} (x \ln(x+3) - x \ln(x)) = 0 \]