Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезкеf(x)=1+4x+3x^2-x^3 ; [-3;1] 2 3

Answer 1

f(x)=1+4x+3x^2-x^3

f'(x)=4+6x-3x^2

-3x^2+6x+4=0

3x^2-6x-4=0

D=(-6)^2-4*3*4=36+48=84

x1=(6+V84)/2*3

x1=2,53

x2=(6-V84)/2*3

x2=-0,53

f''(x)=6-6x

f''(-3)=6-6*(-3)=6+18=24-max

f''(1)=6-6*1=6-6=0-min

f''(-0,53)=6-6*(-0,53)=6+3,18=9,18

Answer 2

f(x)=1+4x+3x^2-x^3

вычислим значения на краях отрезка

f(-3)=43

f(1)=7

вычислим производную

f'(x)=4+3*2x-3x^2 = -3x^2 + 6x +4

приравняем к 0 и найдем корни

-3x^2 + 6x +4 =0      A=-3   B=6   C=4

D=B^2 - 4AC=6*6 - 4*(-3)*4 = 36 +48 = 84 = 4*21

X1=(-B+D^(1/2))/(2*A)=(-6+2*21^(1/2))/(2*(-3))=1-(21/9)^(1/2)=-0.528

X2=(-B-D^(1/2))/(2*A)=(-6-2*21^(1/2))/(2*(-3))=1+(21/9)^(1/2)=2.528

Х2 не принадлежит нашему интервалу ==> его не рассматриваем

 

f(X1)=-0.128

наибольшее значеие = 43

наименьшее =  -0.128

 

Answer 3

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [-3, 1], нужно найти значения функции в крайних точках отрезка (x = -3 и x = 1), а также найти точки экстремума внутри отрезка.

1. Подставим значение x = -3: f(-3) = 1 + 4*(-3) + 3*(-3)^2 - (-3)^3 = 1 - 12 + 27 - (-27) = 1 - 12 + 27 + 27 = 43 Таким образом, значение функции при x = -3 равно 43.

2. Подставим значение x = 1: f(1) = 1 + 4*1 + 3*1^2 - 1^3 = 1 + 4 + 3 - 1 = 7 Таким образом, значение функции при x = 1 равно 7.

3. Найдем точки экстремума внутри отрезка, найдя производную функции и приравняв ее к нулю. Затем найдем значения функции в этих точках и сравним их.

f'(x) = 4 + 6x - 3x^2

Находим корни уравнения f'(x) = 0: 4 + 6x - 3x^2 = 0 3x^2 - 6x - 4 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = (-6)^2 - 4*3*(-4) = 36 + 48 = 84

x1 = (-(-6) + sqrt(84)) / (2*3) = (6 + 2*sqrt(21)) / 6 = (1 + sqrt(21)) / 3 x2 = (-(-6) - sqrt(84)) / (2*3) = (6 - 2*sqrt(21)) / 6 = (1 - sqrt(21)) / 3

Подставим найденные значения x1 и x2 в функцию f(x) и найдем значения функции в этих точках:

f((1 + sqrt(21))/3) = 1 + 4*((1 + sqrt(21))/3) + 3*((1 + sqrt(21))/3)^2 - ((1 + sqrt(21))/3)^3 ≈ 0.567

f((1 - sqrt(21))/3) = 1 + 4*((1 - sqrt(21))/3) + 3*((1 - sqrt(21))/3)^2 - ((1 - sqrt(21))/3)^3 ≈ 8.5

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-3, 1] равно около 8.5 и достигается при x ≈ (1 - sqrt(21))/3, а наименьшее значение функции равно около 0.567 и достигается при x ≈ (1 + sqrt(21))/3.