Question

Найдите sin(2a+pi/4), если tg a=1/2

Answer 1

2sin(a)*cos(a)=sin^2(a)+cos^2(a) 
sin^2(a)+cos^2(a)-2sin(a)*cos(a)=0 
(sin(a)-cos(a))^2=0 
(tg(a)-1)^2=0 
tg(a)-1=0 
tg(a)=1 
это если (tg(a)-1)>=0 
т.е. tg(a)>=1

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать тригонометрические тождества и связь между функциями синуса и тангенса.

Исходя из условия, у нас дано, что tg(a) = 1/2. У нас есть несколько способов решить это уравнение, но один из простых способов - использовать связь между синусом и тангенсом:

tg(a) = sin(a)/cos(a)

Мы можем записать это уравнение в виде:

sin(a) = tg(a) * cos(a)

Теперь, чтобы найти sin(2a + pi/4), мы можем использовать тождество для синуса двойного угла:

sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a)

Таким образом, мы можем записать:

sin(2a + pi/4) = sin(2a) * cos(pi/4) + cos(2a) * sin(pi/4)

Используя связь между синусом и тангенсом, мы можем записать следующее:

sin(2a + pi/4) = (2 * sin(a) * cos(a)) * (1/sqrt(2)) + (cos^2(a) - sin^2(a)) * (1/sqrt(2))

Теперь мы можем подставить значение sin(a) из исходного уравнения:

sin(2a + pi/4) = (2 * (1/2) * cos(a)) * (1/sqrt(2)) + (cos^2(a) - (1/2)^2) * (1/sqrt(2))

Упрощая это выражение, получим:

sin(2a + pi/4) = (cos(a) / sqrt(2)) + (cos^2(a) - 1/4) * (1/sqrt(2))

Теперь мы можем использовать информацию о cos(a). Мы знаем, что:

cos^2(a) + sin^2(a) = 1

substituting sin^2(a) = 1 - cos^2(a):

sin(2a + pi/4) = (cos(a) / sqrt(2)) + ((1 - cos^2(a)) - 1/4) * (1/sqrt(2))

Упрощая это выражение, получим:

sin(2a + pi/4) = (cos(a) / sqrt(2)) + ((1 - cos^2(a)) / sqrt(2)) - (1/4) * (1/sqrt(2))

Теперь мы можем заменить cos(a) на значение, полученное из исходного уравнения tg(a) = 1/2:

sin(2a + pi/4) = ((1/2) / sqrt(2)) + ((1 - (1/2)^2) / sqrt(2)) - (1/4) * (1/sqrt(2))

Упрощая это выражение, получим окончательный ответ:

sin(2a + pi/4) = (1/2sqrt(2)) + (3/4sqrt(2)) - (1/4sqrt(2))

sin(2a + pi/4) = (4/4sqrt(2)) + (3/4sqrt(2)) - (1/4sqrt(2))

sin(2a + pi/4) = (6/4sqrt(2))

sin(2a + pi/4) = (3/2sqrt(2))

Таким образом, sin(2a + pi/4) = (3/2sqrt(2)).