Question

Log2tgx(2ctgx)+log2ctgx(2tgx)=2 подробно, пожалуйста :)

Answer 1

$\log_{2{\rm tg}\,x} 2{\rm ctg}\, x+\log_{2{\rm ctg}\,x} 2{\rm tg}\, x=2;$
Пусть $\log_{2{\rm tg}\,x} 2{\rm ctg}\, x=y$ тогда
$y+\frac{1}{y}=2;\, y^2-2y+1=0;\, y=1.$
Тогда $\log_{2{\rm tg}\,x} 2{\rm ctg}\, x=1;\, {\rm tg}\,x= {\rm ctg}\, x;\, x= \frac{ \pi }{4}+\pi n,\, n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Конечно, давайте решим данное уравнение подробно.

Имеем уравнение:

\[ \log_2(\tan x) + \log_2(\cot x) + \log_2(\cot x) + \log_2(\tan x) = 2 \]

Обратим внимание, что \( \log_2(\tan x) + \log_2(\cot x) \) эквивалентно \( \log_2(\tan x \cdot \cot x) \), так как по определению \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\). Аналогично, можно упростить вторую пару логарифмов.

Итак, у нас получается:

\[ \log_2(\tan x \cdot \cot x) + \log_2(\cot x \cdot \tan x) = 2 \]

Теперь воспользуемся свойством логарифмов, согласно которому \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)\). Применим это свойство:

\[ \log_2(\tan x \cdot \cot x \cdot \cot x \cdot \tan x) = 2 \]

Учитывая, что \(\tan x \cdot \cot x = 1\) (это следует из определения тангенса и котангенса), мы получаем:

\[ \log_2(1) = 2 \]

Так как \(\log_2(1) = 0\), уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение \(\log_2(\tan x) + \log_2(\cot x) + \log_2(\cot x) + \log_2(\tan x) = 2\) не имеет решений.