Question

А2. тождественные преобразования логарифмических выражений. 1. Вычислите: log3 корень 27

Answer 1

log₃√27=0.5*log₃27=0.5*3=1.5

Answer 2

Конечно, обращение к тождественным преобразованиям логарифмических выражений поможет решить данную задачу. Давайте начнем с выражения \( \log_3 \sqrt{27} \).

1. Сначала упростим подкоренное выражение \(\sqrt{27}\). Это равно \( \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3} \). 2. Теперь подставим это значение обратно в наше выражение: \( \log_3 (3 \cdot \sqrt{3}) \).

Теперь можем воспользоваться свойствами логарифмов:

- Если у нас есть логарифм произведения, это равно сумме логарифмов каждого из сомножителей: \(\log_b (a \cdot c) = \log_b a + \log_b c\).

Теперь выражение примет вид: \[ \log_3 (3) + \log_3 (\sqrt{3}) \]

- Значение логарифма от основания самого себя равно 1: \(\log_b b = 1\).

Таким образом, \(\log_3 (3)\) равно 1.

Остается только вычислить \(\log_3 (\sqrt{3})\). Мы знаем, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\). Следовательно, \(\log_3 (\sqrt{3}) = \log_3 (3^{\frac{1}{2}})\).

Используя свойство логарифмов, при котором степень внутри логарифма может быть вынесена вперед как множитель, получим:

\(\log_3 (3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot \log_3 (3)\)

Известно, что \(\log_3 (3)\) равно 1, таким образом:

\(\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\)

Итак, \(\log_3 \sqrt{27} = \frac{1}{2}\).