Question

Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x)=3x^2+4x,график которой проходит через точку А(1;5)

Answer 1

F(x) = x^3 + 2x^2 + C

5 = 1+2+C
C = 2

F(x) = x^3 + 2x^2 + 2

Answer 2

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 3x^2 + 4x \), давайте применим метод интегрирования для каждого члена по отдельности.

\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (3x^2 + 4x) \, dx \]

Интегрируем каждый член по отдельности:

1. Для \( \int 3x^2 \, dx \): \[ \int 3x^2 \, dx = x^3. \]

2. Для \( \int 4x \, dx \): \[ \int 4x \, dx = 2x^2. \]

Теперь соберем все части вместе:

\[ F(x) = x^3 + 2x^2 + C, \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Теперь, учитывая, что график функции проходит через точку \( A(1;5) \), подставим значения \( x = 1 \) и \( F(x) = 5 \) в уравнение:

\[ 5 = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + C. \]

Решим уравнение относительно \( C \):

\[ 5 = 1 + 2 + C \implies C = 2. \]

Таким образом, окончательная первообразная с учетом начального условия будет:

\[ F(x) = x^3 + 2x^2 + 2. \]