Question

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4x2−4ax+a2+2a+2на множестве |x|≥1 не меньше 6.Объясните пожалуйста, как решать? Заранее спасибо

Answer 1

Множество |х|>=1 равносильно множеству (-бесконечность,-1]U[1;+бесконечность) найдем производную f(x) по х и приравняем к 0,чтоб найти наименьшее значение f'(x)=8x-4a 8х-4а=0 8х=4а х=а/2 теперь подставим данное значение в исходную функцию и поставим знак >=6 4*a^2/4-4a*a/2+a^2+2a+2>=6 упрощаем и получаем 2а>=4 а>=2

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра \( a \), при которых наименьшее значение функции \( f(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 + 2a + 2 \) на множестве \( |x| \geq 1 \) не меньше 6, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем минимальное значение функции \( f(x) \). Для этого нужно найти вершину параболы, так как функция \( f(x) \) является квадратичной.

2. Вершина параболы имеет координаты \( x = -\frac{b}{2a} \) и \( y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) \), где \( b = -4a \).

3. Так как у нас условие \( |x| \geq 1 \), то нам интересны значения \( x \) вне интервала \((-1, 1)\), то есть значения, где \( |x| \geq 1 \).

4. Исходя из этого, для нахождения минимального значения функции \( f(x) \) нам нужно найти вершину параболы для \( |x| \geq 1 \).

Теперь приступим к решению:

Функция \( f(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 + 2a + 2 \) является параболой. Для нахождения минимального значения функции на множестве \( |x| \geq 1 \), нам нужно определить, какие значения параметра \( a \) обеспечивают условие \( f(x) \geq 6 \).

Сначала найдем вершину параболы, выразив ее координаты через \( a \).

Координата x вершины: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4a}{2 \cdot 4} = \frac{a}{2} \)

Подставляем значение x обратно в уравнение, чтобы найти соответствующее значение y (минимальное значение функции):

\( y = f\left(\frac{a}{2}\right) = 4\left(\frac{a}{2}\right)^2 - 4a\left(\frac{a}{2}\right) + a^2 + 2a + 2 \)

\( y = 2a^2 - 2a^2 + a^2 + 2a + 2 \)

\( y = a^2 + 2a + 2 \)

Мы хотим, чтобы это минимальное значение \( y \geq 6 \), таким образом:

\( a^2 + 2a + 2 \geq 6 \)

Вычитаем 6 из обеих сторон:

\( a^2 + 2a - 4 \geq 0 \)

Это квадратное уравнение необходимо решить. Мы можем решить его, используя факторизацию или квадратное уравнение:

\( (a + 2)(a - 2) \geq 0 \)

Таким образом, получаем два интервала для \( a \): \( a \leq -2 \) или \( a \geq 2 \).

Итак, значения параметра \( a \), при которых минимальное значение функции \( f(x) \) на множестве \( |x| \geq 1 \) не меньше 6, это \( a \leq -2 \) или \( a \geq 2 \).