Question

Решите уравнение, используя подходящую подстановку! 99Б! \frac{1}{x²-3x-1} + \frac{1}{x²-3x-2} = \frac{5}{x²-3x+2} -----------------------------------------------------------------------------

Answer 1

$\frac{1}{x^2-3x-1} + \frac{1}{x^2-3x-2} = \frac{5}{x^2-3x+2} \\ 2-3x+x^2+ \frac{(x^2-3x-2)(x^2-3x+2)}{x^2-3x-1}=5(x^2-3x-2) \\ \frac{(x^2-3x+2)(2x^2-6x-3)}{x^2-3x-1}=5(x^2-3x-2) \\ (x^2-3x+2)(2x^2-6x-3)=5(x^2-3x-2)(x^2-3x-1) \\ 2x^4-12x^3+19x^2-3x-6=5(x^2-3x-2)(x^2-3x-1) \\ 2x^4-12x^3+19x^2-2x-6=5x^4-30x^3+45x+10 \\ -3x^4+18x^3-11x^2-48x-16=0 \\ -(x-4)(x+1)(3x^2-9x-4)=0 \\ (x-4)(x+1)(3x^2-9x-4)=0 \\ x-4=0;x+1=0;3x^2-9x-4=0 \\ x=4;x=-1;x^2-3x-4/3=0 \\ x=4;x=-1;x^2-3x=4/3 \\ x=4;x=-1;(x-3/2)^2=43/12$
$x=4;x=-1;x-3/2= \frac{ \sqrt{43/3} }{2};x-3=- \frac{ \sqrt{43/3} }{2} \\ x= 4;x=-1;x=3/2+\frac{ \sqrt{43/3} }{2};x=3/2-\frac{ \sqrt{43/3} }{2}$

Answer 2

Решить через подстановку.. Что ж заменим

$\displaystyle x^2-3x=a$

тогда уравнение примет вид

$\displaystyle \frac{1}{a-1}+ \frac{1}{a-2}= \frac{5}{a+2}\\\\ \frac{a-2+a-1}{(a-1)(a-2)}= \frac{5}{(a+2)}\\\\(2a-3)(a+2)=5(a-1)(a-2)\\\\2a^2+a-6=5a^2-15a+10\\\\3a^2-16a+16=0\\\\D=256-192=64\\\ a_{1.2}= \frac{16\pm8}{6}\\\a_1=4; a_2=4/3$

$\displaystyle (a-4)(3a-4)=0\\\\(x^2-3x-4)(3x^2-9x-4)=0\\\\x^2-3x-4=0\\\\D=9+16=25\\\\x_1=4; x_2=-1$

$\displaystyle 3x^2-9x-4=0\\\\D=81+48=129\\\\x_{1.2}= \frac{9\pm \sqrt{129}}{6}$

Answer 3

Для решения данного уравнения сначала найдем общий знаменатель:

x² - 3x - 1 = (x + 1)(x - 2) x² - 3x - 2 = (x - 2)(x + 1) x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Теперь уравнение можно переписать в виде:

99Б! * (x + 1)(x - 2) + 99Б! * (x - 2)(x + 1) = 5 * (x - 1)(x - 2)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

99Б! * (x² - x - 2) + 99Б! * (x² - x - 2) = 5 * (x² - 3x + 2)

99Б! * x² - 99Б! * x - 198Б! + 99Б! * x² - 99Б! * x - 198Б! = 5x² - 15x + 10

Упростим уравнение, объединив подобные слагаемые:

198Б! * x² - 198Б! * x - 198Б! = 5x² - 15x + 10

Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

198Б! * x² - 5x² - 198Б! * x + 15x - 198Б! - 10 = 0

193Б! * x² - 183Б! * x - 198Б! - 10 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого можно использовать квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 и формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac

a = 193Б! b = -183Б! c = -198Б! - 10

D = (-183Б!)² - 4 * 193Б! * (-198Б! - 10)

D = 33489Б!² + 4 * 193Б! * 198Б! + 4 * 193Б! * 10

Теперь решим полученное уравнение с помощью формулы корней:

x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-(-183Б!) + √(33489Б!² + 4 * 193Б! * 198Б! + 4 * 193Б! * 10)) / (2 * 193Б!) x₂ = (-(-183Б!) - √(33489Б!² + 4 * 193Б! * 198Б! + 4 * 193Б! * 10)) / (2 * 193Б!)