Question

Решите, пожалуйста, уравнение 4cos^4x - 1 =cos2x. Найдите его корни на промежутке [-5пи/6 ; пи/6].

Answer 1

4*(1+cos2x)²/4  -1 =cos2x
(1+cos2x)² -(1+cos2x)=0
(1+cos2x)(1+cos2x-1)=0
(1+cos2x)=0⇒cos2x=-1⇒2x=π+2πn⇒x=π/2+πn⇒x=-π/2∈[-5π/6;π/6]
(1+cos2x-1)=0⇒cos2x=0⇒2x=π/2+πn⇒x=π/4+πn/2⇒x=-3π/4;-π/4∈[-5π/6;π/6]

Answer 2

Давайте решим уравнение \(4\cos^4(x) - 1 = \cos(2x)\) на заданном интервале \([-5\pi/6, \pi/6]\).

1. Приведение уравнения: Используем тригонометрическую формулу \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\):

\[4\cos^4(x) - 1 = 2\cos^2(x) - 1\]

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

\[4\cos^4(x) - 2\cos^2(x) = 0\]

2. Факторизация: Вынесем общий множитель \(\cos^2(x)\):

\[\cos^2(x)(4\cos^2(x) - 2) = 0\]

Теперь у нас есть два множителя: \(\cos^2(x) = 0\) и \(4\cos^2(x) - 2 = 0\).

3. Нахождение корней первого множителя: \[\cos^2(x) = 0\]

Это уравнение имеет один корень на интервале \([-5\pi/6, \pi/6]\): \(\cos(x) = 0\). Он соответствует углам \(\pm \pi/2\).

4. Нахождение корней второго множителя: \[4\cos^2(x) - 2 = 0\]

Решим это уравнение:

\[4\cos^2(x) = 2\]

\[\cos^2(x) = \frac{1}{2}\]

Это уравнение имеет два корня на интервале \([-5\pi/6, \pi/6]\): \(\cos(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\). Они соответствуют углам \(\pm \frac{\pi}{4}\).

5. Общие корни: Таким образом, уравнение имеет следующие корни на интервале \([-5\pi/6, \pi/6]\): \[x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\]

Пожалуйста, обратите внимание, что для углов \(-\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\) мы получили их из решения уравнения \(4\cos^2(x) - 2 = 0\), а для углов \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\) - из решения уравнения \(\cos^2(x) = 0\).