Question

1)10а^2-6а+5ав-3в/5а^2-8а+3 2)2а^2-10а-ав+5в/3а^2-14а-5

Answer 1

$\dfrac{10a^2-6a+5ab-3b}{5a^2-8a+3} \, \boxed{=}$
Разложим знаменатель дроби на множители:
$5a^2-8a+3=0\\ D=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot5\cdot3=4$
$D\ \textgreater \ 0$, значит квадратное уравнение имеет 2 корня:
$a_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{8+2}{2\cdot5} =1;\\\\ a_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{8-2}{2\cdot5} = \dfrac{3}{5}$

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ - разложение на множители квадратного уравнения

$5a^2-8a+3=5\cdot\big(a-1\big)\cdot \big(a- \frac{3}{5} \big)=\big(a-1\big)\big(5a-3)$

$\boxed{=}\,\, \dfrac{2a(5a-3)+b(5a-3)}{(a-1)(5a-3)} = \dfrac{(5a-3)(2a+b)}{(a-1)(5a-3)} = \dfrac{2a+b}{a-1}$


$\dfrac{2a^2-10a-ab+5b}{3a^2-14a-5}=$
Аналогично с первый примером:
$3a^2-14a-5=0$
  Вычисляем дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=(-14)^2-4\cdot3\cdot(-5)=196+60=256$

Найдем корни квадратного уравнения по формулам:
$a_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{14+16}{2\cdot3} =5;\\\\ a_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{14-16}{2\cdot3} =- \dfrac{1}{3}$

$3a^2-14a-5=3(a-5)(a+\frac{1}{3})=(a-5)(3a+1)$

................

$= \dfrac{2a(a-5)-b(a-5)}{(a-5)(3a+1)} = \dfrac{(a-5)(2a-b)}{(a-5)(3a+1)} = \dfrac{2a-b}{3a+1}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности:

1) \( \frac{10a^2 - 6a + 5ab - 3b}{5a^2 - 8a + 3} \)

В числителе данной дроби у нас есть четыре члена: \(10a^2\), \(-6a\), \(5ab\), и \(-3b\). Мы можем провести группировку членов:

\[ 10a^2 - 6a + 5ab - 3b = (10a^2 - 6a) + (5ab - 3b) \]

Во второй части этого выражения мы можем выделить общий множитель \(a\) и факторизовать его:

\[ (10a^2 - 6a) + (5ab - 3b) = 2a(5a - 3) + b(5a - 3) \]

Теперь у нас есть общий множитель в обеих частях. Мы можем выделить его:

\[ 2a(5a - 3) + b(5a - 3) = (2a + b)(5a - 3) \]

Таким образом, дробь упрощается до:

\[ \frac{10a^2 - 6a + 5ab - 3b}{5a^2 - 8a + 3} = \frac{(2a + b)(5a - 3)}{5a^2 - 8a + 3} \]

2) \( \frac{2a^2 - 10a - ab + 5b}{3a^2 - 14a - 5} \)

Аналогично, проведем группировку членов:

\[ 2a^2 - 10a - ab + 5b = (2a^2 - 10a) + (-ab + 5b) \]

Теперь выделим общий множитель \(a\):

\[ (2a^2 - 10a) + (-ab + 5b) = 2a(a - 5) - b(a - 5) \]

Опять же, у нас есть общий множитель в обеих частях. Мы можем выделить его:

\[ 2a(a - 5) - b(a - 5) = (2a - b)(a - 5) \]

Таким образом, дробь упрощается до:

\[ \frac{2a^2 - 10a - ab + 5b}{3a^2 - 14a - 5} = \frac{(2a - b)(a - 5)}{3a^2 - 14a - 5} \]

Итак, ответы:

1) \( \frac{10a^2 - 6a + 5ab - 3b}{5a^2 - 8a + 3} = \frac{(2a + b)(5a - 3)}{5a^2 - 8a + 3} \)

2) \( \frac{2a^2 - 10a - ab + 5b}{3a^2 - 14a - 5} = \frac{(2a - b)(a - 5)}{3a^2 - 14a - 5} \)