Question

Вычислите интеграл от 1 до -2 (6x^2-2x+1)

Answer 1

$\it \int_{-2} ^1 (6x^2-2x+1)dx = \left(6\dfrac{\ x^3}{3}-2\dfrac{x^2}{2}+x \right) \Big{|}_{-2}^1 = \\\;\\ \\\;\\ =(2x^3-x^2+x) \Big{|}_{-2}^1 = 2-1+1-(-16-4-2)=2+22=24$

Answer 2

Чтобы вычислить интеграл от функции, необходимо использовать определенный интеграл. Для данной функции f(x) = 6x^2 - 2x + 1 и предела интегрирования от 1 до -2, интеграл будет записываться как:

∫[1, -2] (6x^2 - 2x + 1) dx

У нас есть следующая формула для интегрирования многочленов:

∫(a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + ... + a_2*x^2 + a_1*x + a_0) dx = (a_{n}/(n+1))*x^{n+1} + (a_{n-1}/n)*x^n + ... + (a_2/3)*x^3 + (a_1/2)*x^2 + a_0*x + C

где C - константа интегрирования.

Применяя эту формулу к заданной функции, получаем:

∫(6x^2 - 2x + 1) dx = (6/3)*x^3 - (2/2)*x^2 + x + C

Теперь, чтобы найти определенный интеграл на интервале от 1 до -2, необходимо вычислить значение интеграла для верхнего предела (в данном случае -2) и вычесть значение интеграла для нижнего предела (в данном случае 1):

∫[1, -2] (6x^2 - 2x + 1) dx = [(6/3)*(-2)^3 - (2/2)*(-2)^2 + (-2)] - [(6/3)*1^3 - (2/2)*1^2 + 1]

= (8 - 4 + (-2)) - (6 - 2 + 1)

= 2 - 5

= -3

Таким образом, интеграл от функции f(x) = 6x^2 - 2x + 1 на интервале от 1 до -2 равен -3.