Question

Log^2 5x+log5x-2=0 решите уравнение

Answer 1

Log²5(x)+log5(x)-2=0
Решим задачу методом введения новой переменной:
log5(x)=a
a²+a-2=0
D=9
a=-2
a=1
Поставим на место:
1. log5(x)=-2
x=5^-2=1/25
2. log5(x)=1
x=5

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \log^2(5x) + \log(5x) - 2 = 0 \).

Для удобства введем замену: обозначим \( \log(5x) \) за \( y \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + y - 2 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1, b = 1, c = -2 \).

Формула для решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

\[ y = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \) 2. \( y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

Теперь вернемся к нашей замене и найдем значения \( x \):

1. Для \( y_1 = 1 \): \[ \log(5x) = 1 \] \[ 5x = 10 \] \[ x = 2 \]

2. Для \( y_2 = -2 \): \[ \log(5x) = -2 \] Заметим, что логарифм от положительного числа не может быть отрицательным, поэтому этот корень не подходит.

Таким образом, уравнение \( \log^2(5x) + \log(5x) - 2 = 0 \) имеет единственное решение: \( x = 2 \).