Question

Найти точки экстремума функции f(x)=0.5x^4-2x^3

Answer 1

Находим f`(x).
f`(x)=(0,5x⁴-2x³)`=0,5·4x³-2·3x²=2x³-6x²=2x²(x-3)
f`(x)=0
2x²(x-3)=0
x=0  x-3=0 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума и находим знак производной
__-____(0)__-____(3)___+__

х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.
х=0 - точкой экстремума не является.
См. график функции в приложении.

Answer 2

Для того чтобы найти точки экстремума функции f(x) = 0.5x^4 - 2x^3, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Эти значения x будут представлять максимальные или минимальные значения функции.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции f(x) по переменной x. Используя правило степенной функции и правило дифференцирования суммы, мы получим:

f'(x) = 2 * 0.5 * x^3 - 3 * 2 * x^2 = x^3 - 6x^2

Нахождение точек экстремума

Теперь, чтобы найти точки экстремума, мы должны решить уравнение f'(x) = 0. Это означает, что мы должны найти значения x, при которых производная равна нулю.

x^3 - 6x^2 = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

x^2(x - 6) = 0

Отсюда, получаем два решения:

x^2 = 0 => x = 0 x - 6 = 0 => x = 6

Определение типа экстремума

Теперь, чтобы определить тип каждой точки экстремума, мы можем анализировать знаки производной в окрестности этих точек.

Для x < 0: f'(x) = x^3 - 6x^2 < 0 Это означает, что функция убывает на этом интервале.

Для 0 < x < 6: f'(x) = x^3 - 6x^2 > 0 Это означает, что функция возрастает на этом интервале.

Для x > 6: f'(x) = x^3 - 6x^2 < 0 Это означает, что функция убывает на этом интервале.

Результаты

Итак, у нас есть две точки экстремума:

1. Точка минимума при x = 0. В этой точке функция достигает минимального значения.

2. Точка максимума при x = 6. В этой точке функция достигает максимального значения.

Таким образом, точки экстремума функции f(x) = 0.5x^4 - 2x^3 равны (0, f(0)) и (6, f(6)).