Question

Задачи и примеры решения с элементами комбинаторики

Answer 1

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит «без повторений»? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различныхобъектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:яблоко / груша / бананВопрос первый: сколькими способами их можно переставить?Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:яблоко / банан / груша 
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша 
банан / груша / яблокоИтого: 6 комбинаций или 6 перестановок.Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше?  Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!Пожалуйста, откройте справочный материал Основные формулы комбинаторики(методичку удобно распечатать) и в пункте №2 найдите формулу количества перестановок.Никаких мучений – 3 объекта можно переставить  способами

Answer 2

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий задачи подсчёта и упорядочивания объектов. Здесь я предоставлю несколько задач с элементами комбинаторики и примеры их решения.

Задача 1: Выбор команды из группы людей

Условие задачи: В группе из 10 человек нужно выбрать команду из 3 человек. Сколько различных команд можно сформировать?

Решение: Для решения данной задачи используется комбинаторная формула для сочетаний \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) — факториал числа \(n\).

В данной задаче мы ищем количество сочетаний из 10 человек по 3, так что формула примет вид: \[C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!}\]

Раскроем факториалы и упростим: \[C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\]

Ответ: В данной группе можно сформировать 120 различных команд из 3 человек.

Задача 2: Размещение книг на полке

Условие задачи: У нас есть 5 различных книг и 3 полки. Сколькими способами можно разместить книги на полках?

Решение: Для этой задачи используется комбинаторная формула для размещений \(A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}\).

Мы хотим разместить 5 книг на 3 полках, так что формула будет: \[A(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!}\]

Раскроем факториалы и упростим: \[A(5, 3) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 60\]

Ответ: Книги можно разместить на полках 60 различными способами.

Задача 3: Распределение призов

Условие задачи: В лотерее участвуют 10 человек, и разыгрываются 3 приза. Сколько существует вариантов распределения призов?

Решение: Для решения этой задачи мы также используем сочетания, так как призы различны, и важен только состав группы победителей.

\[C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\]

Ответ: Существует 120 вариантов распределения 3 призов среди 10 участников.

Это всего лишь несколько примеров задач с элементами комбинаторики. В комбинаторике много разнообразных типов задач, и для их решения можно использовать различные комбинаторные формулы в зависимости от условий задачи.