Question

Помогите пожалуйста. Заранее благодарю. Решите пожалуйста следующий пример. 4ˣ+4¹⁻ˣ=5

Answer 1

$4^x+4^{1-x}=5\\4^x+4*4^{-x}=5\; \; |*4^x\\4^{2x}+4=5*4^x\\4^{2x}-5*4^x+4=0\\a=4^x\\a^2-5a+4=0\\ \left \{ {{a_1*a_2=4} \atop {a_1+a_2=5}} \right. =\ \textgreater \ a_1=1;a_2=4\\\\4^x=1\\4^x=4^0\\x_1=0\\\\4^x=4\\4^x=4^1\\x_2=1$

Ответ: 0; 1

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод замены переменной.

Пусть мы заменим переменную x на новую переменную t, где t = 4^x.

Тогда уравнение примет вид: t + 1/t = 5.

Домножим обе части уравнения на t, чтобы избавиться от знаменателя:

t^2 + 1 = 5t.

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

t^2 - 5t + 1 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = -5, c = 1.

Тогда D = (-5)^2 - 4(1)(1) = 25 - 4 = 21.

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (5 + √21) / 2,

t2 = (-b - √D) / (2a) = (5 - √21) / 2.

Теперь нам нужно найти значения x, используя обратную замену переменной.

Для t1: 4^x = (5 + √21) / 2.

Возведем обе части уравнения в степень log4:

x = log4((5 + √21) / 2).

Аналогично, для t2: 4^x = (5 - √21) / 2.

x = log4((5 - √21) / 2).

Таким образом, мы нашли два значения x, которые удовлетворяют данному уравнению.