Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функцій y = x² - 4x + 5; y = 5 - x

Answer 1

Найдем пределы интегрирования
x²-4x+5=5-x
x²-3x=0
x(x-3)=0
x=0   x=3
$S= \int\limits^4_0 {(-x^2+3x)} \, dx =-x^3/3+3x^2/2|4-0=-64/3+48=80/3$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої графіком двох функцій, потрібно визначити точки їхнього перетину та обчислити відповідний інтеграл. У даному випадку маємо графіки функцій \(y = x^2 - 4x + 5\) та \(y = 5 - x\).

1. Знайдемо точки перетину функцій, вирішивши систему рівнянь:

\[x^2 - 4x + 5 = 5 - x\]

Перепишемо рівняння у стандартній формі:

\[x^2 - 3x = 0\]

Факторизуємо:

\[x(x - 3) = 0\]

Отримуємо два розв'язки: \(x = 0\) та \(x = 3\).

2. Тепер обчислимо відповідні значення y для знайдених x:

Для \(x = 0\):

\[y = 5 - x = 5\]

Для \(x = 3\):

\[y = 5 - x = 2\]

Отже, точки перетину: (0, 5) та (3, 2).

3. Знайдемо площу фігури, використовуючи інтеграл:

\[\text{Площа} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx\]

де \(f(x)\) - верхня функція, \(g(x)\) - нижня функція, а \(a\) та \(b\) - межі інтегрування.

У даному випадку \(f(x) = x^2 - 4x + 5\) та \(g(x) = 5 - x\).

\[\text{Площа} = \int_{0}^{3} ((x^2 - 4x + 5) - (5 - x)) \,dx\]

Спростимо вираз під інтегралом та обчислимо інтеграл:

\[\text{Площа} = \int_{0}^{3} (x^2 - 3x + 10) \,dx\]

Знайдемо антипроизводну:

\[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 10x \Big|_{0}^{3}\]

Підставимо верхню та нижню межі:

\[\left(\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 + 10(3)\right) - \left(\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 10(0)\right)\]

Обчислимо вираз:

\[\frac{1}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) + 30\]

\[= 9 - \frac{27}{2} + 30\]

\[= 9 - 13.5 + 30\]

\[= 25.5\]

Отже, площа фігури, обмеженої графіками функцій \(y = x^2 - 4x + 5\) та \(y = 5 - x\), дорівнює 25.5 квадратними одиницями.