Question

Докажите неравенство: (а+2) (б+3) (аб+1,5)>или=24аб а,б>или=0

Answer 1

$(a+2)(b+3)(ab+1,5)\ge24ab\,?$
Используем известное неравенство Коши (среднее арифметическое больше или равно среднего геометрического)
$\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$ или $x+y\ge2\sqrt{xy}$.
Получим
$(a+2)(b+3)(ab+1,5)\ge2\sqrt{2a}\cdot 2\sqrt{3b}\cdot 2\sqrt{1,5ab}=8\sqrt{9a^2b^2}=\\ =8\cdot 3ab=24ab.$

Answer 2

Конечно, давайте разберём это неравенство поэтапно.

Имеем неравенство: \[ (а + 2) + (б + 3) + (аб + 1,5) \geq 24аб + аб \]

Для начала, давайте раскроем скобки в левой части неравенства: \[ а + 2 + б + 3 + аб + 1,5 \geq 24аб + аб \]

Упростим левую часть, складывая подобные члены: \[ а + аб + б + 6,5 \geq 25аб \]

Теперь, чтобы доказать это неравенство, нужно учесть условие \( а, б \geq 0 \). Но, к сожалению, существует проблема: при подстановке любых неотрицательных значений \( а \) и \( б \) в данное неравенство, оно не будет выполняться.

Давайте рассмотрим крайний случай: если \( а = 0 \) и \( б = 0 \), мы получим левую часть равной \( 6,5 \), а правая часть будет равна \( 0 \). Однако \( 6,5 \) не больше или равно \( 0 \).

Таким образом, это неравенство \( (а + 2) + (б + 3) + (аб + 1,5) \geq 24аб + аб \) неверно для всех неотрицательных значений \( а \) и \( б \), и его нельзя доказать при заданных условиях.