Question

Решите неравенство методом интервалов {4/х+4}+{1/х+1}>1

Answer 1

$(\frac{4}{x}+4)+ (\frac{1}{x}+1)\ \textgreater \ 1\\\\ \frac{4}{x}+4+ \frac{1}{x}+1-1\ \textgreater \ 0\\\\ \frac{5}{x}+4\ \textgreater \ 0\\\\ \frac{5+4x}{x}\ \textgreater \ 0\\\\ \frac{4(1,25+x)}{x}\ \textgreater \ 0$
                 +                            -                              +
______________(-1,25)____________(0)____________

x∈(-∞;-1,25)∨(0;+∞)

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

\[\frac{4}{x+4} + \frac{1}{x+1} > 1.\]

1. Начнем с общего знаменателя. Общим знаменателем для \((x+4)\) и \((x+1)\) будет \((x+4)(x+1)\). Умножим каждый член неравенства на \((x+4)(x+1)\):

\[4(x+1) + (x+4) > (x+4)(x+1).\]

2. Раскроем скобки:

\[4x + 4 + x + 4 > x^2 + 5x + 4.\]

3. Упростим:

\[5x + 8 > x^2 + 5x + 4.\]

4. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартной форме:

\[x^2 - 3 > 0.\]

5. Теперь факторизуем квадратное уравнение:

\[(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) > 0.\]

6. Знаки меняются на интервалах, определенных корнями уравнения. Корни уравнения \(x - \sqrt{3} = 0\) и \(x + \sqrt{3} = 0\) равны \(\sqrt{3}\) и \(-\sqrt{3}\) соответственно.

Таким образом, интервалы, где неравенство выполняется, это \((- \infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)\).

Таким образом, решение данного неравенства методом интервалов - \((-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)\).