Question

Решить неравенство log 0,5 (х²-5x+7) ≤ 0

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Конечно, начнем с решения неравенства \( \log_{0.5}(x^2 - 5x + 7) \leq 0 \).

Сначала преобразуем неравенство в эквивалентную форму без логарифма:

\[ \log_{0.5}(x^2 - 5x + 7) \leq 0 \]

Логарифмы могут быть переписаны в эквивалентной экспоненциальной форме:

\[ \text{Если } \log_b(y) = z, \text{ то } y = b^z \]

Следовательно,

\[ x^2 - 5x + 7 \leq 0.5^0 \] \[ x^2 - 5x + 7 \leq 1 \]

Теперь перенесем все элементы в одну сторону неравенства:

\[ x^2 - 5x + 7 - 1 \leq 0 \] \[ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \]

Теперь давайте решим квадратное неравенство. Сначала найдем его корни (точки пересечения с осью X):

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители или решить с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 \]

Дискриминант равен 1, что значит, что у нас есть два различных корня. Теперь найдем эти корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]

Теперь мы знаем, что график функции \(x^2 - 5x + 6\) пересекает ось X в точках \(x = 2\) и \(x = 3\). Чтобы определить, в каких интервалах неравенство \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\) выполняется, можно использовать тестирование интервалов.

Выберем тестовую точку из каждого интервала:

1. \(x < 2\), возьмем \(x = 0\). 2. \(2 < x < 3\), возьмем \(x = 2.5\). 3. \(x > 3\), возьмем \(x = 4\).

Подставим эти значения в \(x^2 - 5x + 6\) и проверим знак:

1. При \(x = 0: 0^2 - 5*0 + 6 = 6 > 0\). Неравенство не выполняется. 2. При \(x = 2.5: 2.5^2 - 5*2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = 0.75 > 0\). Неравенство не выполняется. 3. При \(x = 4: 4^2 - 5*4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0\). Неравенство не выполняется.

Таким образом, неравенство \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\) не выполняется для всех значений \(x\).