Question

в трапецию ABCD вписана окружность. докажите что AB+ CD = AD+BC

Answer 1

Все дело в том, что отрезки из каждой вершины до точек касания с окружностью равны. Сравнивая сумму  длин одних четырех отрезков с  суммой длин других - получим равенство

Answer 2

Очень рад помочь! Чтобы доказать, что в трапеции ABCD с вписанной окружностью выполняется равенство AB + CD = AD + BC, мы можем использовать свойства вписанных углов и хорд центрального угла.

Свойство 1: Вписанные углы

В трапеции ABCD, углы B и C являются вписанными углами, так как они лежат на окружности, вписанной в трапецию. Следовательно, угол B и угол C равны, обозначим их как ∠B и ∠C.

Свойство 2: Хорда центрального угла

Поскольку AB и CD являются хордами окружности, расположенными под центральным углом ∠BAC, они равны по длине. Обозначим их длину как x.

Свойство 3: Диагонали трапеции

Диагонали трапеции AD и BC пересекаются в точке O, центре вписанной окружности. Так как O является центром окружности, то радиус окружности равен половине хорды AB. Обозначим радиус окружности как r.

Доказательство:

1. Согласно свойству 2, AB = CD = x. 2. Используя свойство 1, ∠B = ∠C. 3. Так как AD и BC являются диагоналями трапеции, то они пересекаются в точке O. 4. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Они являются равнобедренными треугольниками, так как стороны AO и BO равны, а стороны CO и DO равны (радиус окружности равен половине хорды AB). 5. В равнобедренных треугольниках основания равны, поэтому AO = BO и CO = DO. 6. Следовательно, AD + BC = AO + BO + CO + DO = 2AO + 2CO = 2(r + r) = 4r. 7. AB + CD = x + x = 2x.

Таким образом, мы доказали, что AB + CD = AD + BC, что и требовалось доказать. Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте знать.