Question

X^4-20x^2=9x^2-100 Решить уравнение, найти корни

Answer 1

$x^4-20x^2=9x^2-100\\\\ x^4-20x^2-9x^2+100=0\\\\ x^4-29x^2+100=0\\\\ x^2=t\\\\ t^2-29t+100=0\\\\ D=841-400=441; \sqrt{D}=21\\\\ t_{1/2}= \frac{29\pm21}{2}\\\\ t_1=25\\ t_2=4\\\\ x^2=4\\ x_{1/2}=\pm 2\\\\ x^2=25\\ x_{3/4}=\pm5$

Ответ: $x_1=-2;\ x_2=2; \ x_3=-5; \ x_4=5$

Answer 2

$x^4-20x^2=9x^2-100$

$x^4-20x^2-9x^2+100=0$

выполняем замену 
$x^2=t$

решаем как простое квадратное уравнение через дискриминант или теорему виета
$t^2-29t+100=0$

далее находи корни 
t1=4 t2=25

$x^{2} =4\\ x^{2} =25$

$x_{12} =+-2\\ x_{34} =+-5$

Answer 3

Давайте решим уравнение \(x^4 - 20x^2 = 9x^2 - 100\).

1. Приведем все члены уравнения к одному виду, поместив их на одну сторону:

\[x^4 - 20x^2 - (9x^2 - 100) = 0\]

2. Упростим выражение:

\[x^4 - 20x^2 - 9x^2 + 100 = 0\]

\[x^4 - 29x^2 + 100 = 0\]

3. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x^2\). Давайте введем замену \(y = x^2\):

\[y^2 - 29y + 100 = 0\]

4. Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -29\), и \(c = 100\).

\[y = \frac{29 \pm \sqrt{(-29)^2 - 4(1)(100)}}{2(1)}\]

\[y = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 400}}{2}\]

\[y = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2}\]

\[y = \frac{29 \pm 21}{2}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(y\): \(y_1 = 25\) и \(y_2 = 4\).

5. Теперь мы возвращаемся к исходной переменной, используя замену \(y = x^2\):

Для \(y_1 = 25\): \[x^2 = 25\] \[x = \pm 5\]

Для \(y_2 = 4\): \[x^2 = 4\] \[x = \pm 2\]

Таким образом, уравнение \(x^4 - 20x^2 = 9x^2 - 100\) имеет четыре корня: \(x = -5, 5, -2, 2\).