Question

2cos 7x/2 (cos3x/2+cosx/2)=0 Помогите решить,заранее большое спасибо!

Answer 1

Решение
2cos 7x/2 (cos3x/2+cosx/2)=0
1) 2cos 7x/2 = 0
cos 7x/2 = 0
7x/2 =  π/2 + πk, k∈Z
7x = π + 2πk, k∈Z
x₁ = π/7 + 2πk/7, k∈Z
2) cos3x/2+cosx/2 = 0
2cos[(3x/2 + x/2) / 2] * cos[(3x/2 - x/2) / 2] = 0
а)  cos[(3x/2 + x/2) / 2] = 0
cosx = 0
x₂ =  π/2 + πn, n∈Z
б) cos[(3x/2 - x/2) / 2] = 0
cosx/2 = 0
x/2 = π/2 + πm, m∈Z
x₃ = π + 2πm, m∈Z

Answer 2

Для решения уравнения 2cos(7x/2) + (cos(3x/2) + cos(x/2)) = 0 мы можем использовать методы алгебры и тригонометрии. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Упрощение уравнения

Для начала, давайте упростим уравнение, чтобы избавиться от скобок и получить одну тригонометрическую функцию.

2cos(7x/2) + (cos(3x/2) + cos(x/2)) = 0

Раскроем скобки:

2cos(7x/2) + cos(3x/2) + cos(x/2) = 0

Шаг 2: Использование тригонометрических тождеств

Для дальнейшего упрощения уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества. В данном случае, нам пригодится следующее тождество:

cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

Применим это тождество к уравнению:

2cos(7x/2) + cos(3x/2) + cos(x/2) = 0

Заменим cos(3x/2) + cos(x/2) на 2cos(2x)cos(x/2):

2cos(7x/2) + 2cos(2x)cos(x/2) = 0

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь, у нас есть уравнение 2cos(7x/2) + 2cos(2x)cos(x/2) = 0. Давайте решим его.

Вынесем общий множитель 2:

2(cos(7x/2) + cos(2x)cos(x/2)) = 0

Теперь, у нас есть два случая, когда уравнение может быть равно нулю:

cos(7x/2) + cos(2x)cos(x/2) = 0 (случай 1)

или

2 = 0 (случай 2)

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

Случай 1: cos(7x/2) + cos(2x)cos(x/2) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрическое тождество:

cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a+b) + cos(a-b))

Применим это тождество к уравнению:

cos(7x/2) + cos(2x)cos(x/2) = 0

Заменим cos(2x)cos(x/2) на (1/2)(cos(5x/2) + cos(3x/2)):

cos(7x/2) + (1/2)(cos(5x/2) + cos(3x/2)) = 0

Упростим уравнение:

cos(7x/2) + (1/2)cos(5x/2) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Случай 2: 2 = 0

Этот случай не имеет решений, так как уравнение 2 = 0 противоречит основным свойствам чисел.

Шаг 4: Решение уравнения из Случая 1

Теперь, давайте решим уравнение из Случая 1:

cos(7x/2) + (1/2)cos(5x/2) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрическое тождество:

cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

Применим это тождество к уравнению:

cos(7x/2) + (1/2)cos(5x/2) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Заменим cos(7x/2) + cos(5x/2) на 2cos(6x/2)cos(x/2):

2cos(6x/2)cos(x/2) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Упростим уравнение:

cos(6x)cos(x/2) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Шаг 5: Поиск решений

Теперь, у нас есть уравнение cos(6x)cos(x/2) + (1/2)cos(3x/2) = 0. Давайте найдем решения.

Для этого уравнения, мы можем использовать следующие значения косинуса:

cos(x) = 1 + cos(2x) cos(x) = 0 cos(x) = 0.5 Теперь, давайте рассмотрим каждое значение по отдельности.

Подслучай 1: cos(x) = 1 + cos(2x)

Заменим cos(x) на 1 + cos(2x):

cos(6x)(1 + cos(2x)/2) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Упростим уравнение:

cos(6x) + (1/2)cos(6x)cos(2x) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Подслучай 2: cos(x) = 0

Заменим cos(x) на 0:

cos(6x)(0) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Упростим уравнение:

(1/2)cos(3x/2) = 0

Подслучай 3: cos(x) = 0.5

Заменим cos(x) на 0.5:

cos(6x)(0.5) + (1/2)cos(6x)cos(2x) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Упростим уравнение:

0.5cos(6x) + (1/2)cos(6x)cos(2x) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Шаг 6: Поиск решений для каждого подслучая

Теперь, давайте найдем решения для каждого подслучая.

Подслучай 1: cos(x) = 1 + cos(2x)

Для этого подслучая, мы можем использовать тригонометрическое тождество:

cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a+b) + cos(a-b))

Применим это тождество к уравнению:

cos(6x) + (1/2)cos(6x)cos(2x) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Заменим cos(6x)cos(2x) на (1/2)(cos(8x) + cos(4x)):

cos(6x) + (1/2)(1/2)(cos(8x) + cos(4x)) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Упростим уравнение:

cos(6x) + (1/4)(cos(8x) + cos(4x)) + (1/2)cos(3x/2) = 0

Подслучай 2: cos(x) = 0

Для этого подслучая, у нас есть уравнение:

**(1/2)cos(3x/2) =