Question

Найдите промежутки, на которых функция вогнута и выпукла. Y=x^3-3x^2-18x+7

Answer 1

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость.1) Найти вторую производную функции.
2) Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3) Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
Находим вторую производную заданной функции.
f(x)=x³-3x²-18x+7
f '(x) = 3x² - 6x - 18,
f ''(x) = 6x - 6.
Приравняем нулю и найдём точки перегиба функции.
6х - 6 = 0,
х - 1 = 0,
х  = 1.
Находим значения второй производной вблизи точки перегиба.
Если  вторая производная больше 0, то функция имеет вогнутость на этом интервале, если вторая производная меньше 0, то функция имеет выпуклость.
х = 0,5      f ''(0,5) = 6*0,5 - 6 = 3 - 6 = -3,
х = 1,5      f ''(1,5) = 6*1,5 - 6 = 9 - 6 = 3.
Ответ: на промежутке (-∞;1) функция выпукла, на промежутке (1;+∞) функция вогнута.

Answer 2

Для того, чтобы найти промежутки, на которых функция вогнута и выпукла, нужно исследовать знак ее второй производной. Вторая производная функции $y=x^3-3x^2-18x+7$ равна $y''=6x-6$. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, решив уравнение $y''=0$:

$$ 6x-6=0 \\Rightarrow x=1 $$

Точка $x=1$ является точкой перегиба графика функции, так как вторая производная меняет знак при переходе через эту точку. Исследуем знак второй производной слева и справа от точки $x=1$:

$$ y''(x) = \begin{cases} 6x-6 < 0, & x < 1 \\ 6x-6 > 0, & x > 1 \end{cases} $$

Следовательно, функция выпукла на интервале $(-\infty; 1)$ и вогнута на интервале $(1; +\infty)$. На рисунке показан график функции и ее точка перегиба.

![График функции]