Question

ПОЖАЛУЙСТА!!!Покажите,что значение выражения не зависит от α: (tgα+ctgα)² - (tgα-ctgα)².

Answer 1

(tgα + ctgα)²-(tgα-ctgα)²=(tgα+ctgα-tgα+ctgα)(tgα+ctgα+tgα-ctgα)=
=2ctgα*2tgα=4ctgα*tgα=4 * 1  * tgα =4
                                          tgα

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \( ( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) )^2 - ( \tan(\alpha) - \cot(\alpha) )^2 \) и покажем, что оно не зависит от \( \alpha \).

1. Раскроем скобки в каждом из слагаемых:

\[ \begin{align*} & ( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) )^2 - ( \tan(\alpha) - \cot(\alpha) )^2 \\ & = \tan^2(\alpha) \cdot \cot^2(\alpha) - (\tan^2(\alpha) - 2 \tan(\alpha) \cot(\alpha) + \cot^2(\alpha)). \end{align*} \]

2. Заметим, что \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 \) для любого угла \( \alpha \), так как \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \). Таким образом, первое слагаемое упрощается:

\[ \tan^2(\alpha) \cdot \cot^2(\alpha) = 1. \]

3. Теперь упростим второе слагаемое:

\[ \begin{align*} & (\tan^2(\alpha) - 2 \tan(\alpha) \cot(\alpha) + \cot^2(\alpha)) \\ & = (\tan^2(\alpha) - 2 \cdot 1 + \cot^2(\alpha)) \\ & = \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) - 2. \end{align*} \]

4. Теперь подставим результаты обратно в исходное выражение:

\[ \begin{align*} & ( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) )^2 - ( \tan(\alpha) - \cot(\alpha) )^2 \\ & = 1 - (\tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) - 2) \\ & = 1 - \tan^2(\alpha) - \cot^2(\alpha) + 2 \\ & = 3 - \tan^2(\alpha) - \cot^2(\alpha). \end{align*} \]

Таким образом, видно, что итоговое выражение \(3 - \tan^2(\alpha) - \cot^2(\alpha)\) не зависит от угла \( \alpha \).