Question

найти наибольшее значение функции y= 10tgx - 10x + 8 на отрезке [-п/4;0]

Answer 1

Сначала естественно находим производную:

10/cos^2x - 10

Приравниваем производную к нулю:

10/cos^2 x = 10

1/cos^2 x = 1

cos x = +/-1

x = пк: к принадлежит Z

Мы нашли множество точек экстремума. В промежуток попадает только одна точка - 0.

Подставим ноль в функцию:

у = 0 + 0 + 8

у = 8

На всякий случай рекомендуют проверять точки на границах заданного отрезка, у нас это -п/4. подставим:

у = -10 -10*п/4 + 8

Явно видно, что это меньше, чем 8.

Ответ: 8.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 10tg(x) - 10x + 8 на отрезке [-π/4; 0], мы можем использовать производную функции и методы анализа функций.

Нахождение производной функции

Сначала найдем производную функции y = 10tg(x) - 10x + 8. Для этого возьмем производные от каждого слагаемого по отдельности и применим правила дифференцирования.

Производная функции tg(x) равна sec^2(x), где sec(x) - секанс функции x. Таким образом, производная первого слагаемого равна 10 * sec^2(x).

Производная второго слагаемого равна -10, так как производная постоянного слагаемого равна нулю.

Производная третьего слагаемого равна 0, так как производная константы равна нулю.

Таким образом, производная функции y равна 10 * sec^2(x) - 10.

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки функции, найдем значения x, при которых производная равна нулю. Решим уравнение: 10 * sec^2(x) - 10 = 0.

sec^2(x) = 1/cos^2(x), поэтому уравнение можно переписать как: 10 / cos^2(x) - 10 = 0.

Разделим обе части уравнения на 10: 1 / cos^2(x) - 1 = 0.

Умножим обе части уравнения на cos^2(x): 1 - cos^2(x) = 0.

Так как 1 - cos^2(x) = sin^2(x), получаем: sin^2(x) = 0.

Отсюда следует, что sin(x) = 0.

На отрезке [-π/4; 0] функция sin(x) имеет нулевые значения при x = -π/4 и x = 0.

Определение максимума функции

Мы нашли две критические точки: x = -π/4 и x = 0. Чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нужно проанализировать знаки второй производной функции.

Вычислим вторую производную функции y = 10tg(x) - 10x + 8. Для этого возьмем производную от производной первоначальной функции.

Производная функции sec^2(x) равна 2 * sec(x) * tg(x), где sec(x) - секанс функции x, tg(x) - тангенс функции x.

Таким образом, вторая производная функции y равна 20 * sec(x) * tg(x) - 10.

Вычислим значения второй производной функции в критических точках x = -π/4 и x = 0.

В точке x = -π/4: 20 * sec(-π/4) * tg(-π/4) - 10 = 20 * (1/cos(-π/4)) * (sin(-π/4)/cos(-π/4)) - 10.

cos(-π/4) = 1/√2, sin(-π/4) = -1/√2.

Подставим значения: 20 * (1/(1/√2)) * ((-1/√2)/(1/√2)) - 10 = 20 * √2 * (-1) - 10 = -40√2 - 10.

В точке x = 0: 20 * sec(0) * tg(0) - 10 = 20 * (1/cos(0)) * (sin(0)/cos(0)) - 10.

cos(0) = 1, sin(0) = 0.

Подставим значения: 20 * (1/1) * (0/1) - 10 = 0 - 10 = -10.

Окончательный ответ

Мы получили значения второй производной функции в критических точках:

- В точке x = -π/4: -40√2 - 10. - В точке x = 0: -10.

Из этого следует, что функция y = 10tg(x) - 10x + 8 имеет максимум в точке x = -π/4 и минимум в точке x = 0 на отрезке [-π/4; 0].

Подставляя найденные значения x обратно в исходную функцию, мы можем найти соответствующие значения y:

- Для x = -π/4: y = 10tg(-π/4) - 10(-π/4) + 8. - Для x = 0: y = 10tg(0) - 10(0) + 8.

Таким образом, мы можем найти наибольшее значение функции на отрезке [-π/4; 0].