Question

Найдите при каком значении параметра n сумма корней уравнения x^2+nx+4n-2=o будет наименьшей?

Answer 1

X² +n*x + 4n - 2 =0 ;
По тереме Виета сумма корней (если имеет) будет:   x₁+ x₂ = - n
уравнения имеет два корня , если D =n² -4*(4n -2)  > 0 
n² -16n +8 > 0 ⇒ n ∈ (-∞ ; 8 -2√14 ) ∪ ( 8 -2√14 ; ∞)

наименьшее   значение  для  - n  не существует  

Answer 2

Для нахождения значения параметра \( n \), при котором сумма корней уравнения \( x^2 + nx + 4n - 2 = 0 \) будет наименьшей, давайте воспользуемся методом завершения квадрата.

Исходное уравнение имеет вид: \[ x^2 + nx + 4n - 2 = 0 \]

Для завершения квадрата добавим и вычтем \( \left(\frac{n}{2}\right)^2 \): \[ x^2 + nx + \left(\frac{n}{2}\right)^2 - \left(\frac{n}{2}\right)^2 + 4n - 2 = 0 \]

Теперь перепишем это уравнение сгруппировав квадратные члены: \[ \left(x + \frac{n}{2}\right)^2 + 4n - 2 - \left(\frac{n}{2}\right)^2 = 0 \]

Упростим: \[ \left(x + \frac{n}{2}\right)^2 + \frac{4n^2 - n^2}{4} - 2 = 0 \]

\[ \left(x + \frac{n}{2}\right)^2 + \frac{3n^2}{4} - 2 = 0 \]

Теперь приравняем полученное выражение к нулю: \[ \left(x + \frac{n}{2}\right)^2 + \frac{3n^2}{4} - 2 = 0 \]

\[ \left(x + \frac{n}{2}\right)^2 = 2 - \frac{3n^2}{4} \]

\[ x + \frac{n}{2} = \pm \sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}} \]

\[ x = -\frac{n}{2} \pm \sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}} \]

Теперь у нас есть корни уравнения. Сумма корней будет равна: \[ S = -\frac{n}{2} + \sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}} - \frac{n}{2} - \sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}} \]

\[ S = -n + 2\sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}} \]

Теперь нам нужно найти минимум этой суммы. Для этого продифференцируем её по \( n \) и приравняем к нулю:

\[ \frac{dS}{dn} = -1 - \frac{3n}{\sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}}} = 0 \]

\[ -1 - \frac{3n}{\sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}}} = 0 \]

\[ -1 = \frac{3n}{\sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}}} \]

\[ -\sqrt{2 - \frac{3n^2}{4}} = 3n \]

\[ 2 - \frac{3n^2}{4} = 9n^2 \]

\[ 9n^2 + \frac{3n^2}{4} - 2 = 0 \]

\[ 36n^2 + 3n^2 - 8 = 0 \]

\[ 39n^2 = 8 \]

\[ n^2 = \frac{8}{39} \]

\[ n = \pm \frac{2\sqrt{39}}{39} \]

Таким образом, при \( n = -\frac{2\sqrt{39}}{39} \) или \( n = \frac{2\sqrt{39}}{39} \) сумма корней уравнения будет наименьшей.