Question

Помогите найти :площадь фигуры ,ограниченной прямой 2x+3y-6=0 и осям координат

Answer 1

Прямая пересикаєт ось OY в точке (0:2) а OX (3:0)  получаем прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 см площадь равна 1/2 *2*3 ии равна 3 см²

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной прямой \(2x + 3y - 6 = 0\) и осями координат, нужно выполнить несколько шагов. Первым делом найдем точки пересечения прямой с осями координат, затем построим треугольник, ограниченный этими точками, и, наконец, найдем его площадь.

1. Найти точки пересечения с осями координат:

Для \(x\)-оси: \(2x + 3y - 6 = 0\) при \(y = 0\):

\(2x + 3 \cdot 0 - 6 = 0\)

\(2x - 6 = 0\)

\(2x = 6\)

\(x = 3\)

Таким образом, точка пересечения с \(x\)-осью: \((3, 0)\)

Для \(y\)-оси: \(2x + 3y - 6 = 0\) при \(x = 0\):

\(2 \cdot 0 + 3y - 6 = 0\)

\(3y - 6 = 0\)

\(3y = 6\)

\(y = 2\)

Таким образом, точка пересечения с \(y\)-осью: \((0, 2)\)

2. Построить треугольник:

Теперь у нас есть три точки: \((0, 2)\), \((3, 0)\) и точка пересечения прямой. Обозначим её через \((x_1, y_1)\). Чтобы найти её координаты, подставим \(y = 0\) в уравнение прямой:

\(2x + 3 \cdot 0 - 6 = 0\)

\(2x - 6 = 0\)

\(2x = 6\)

\(x = 3\)

Таким образом, точка пересечения с осями координат: \((3, 0)\).

Теперь у нас есть треугольник с вершинами в точках \((0, 2)\), \((3, 0)\) и \((3, 0)\).

3. Найти площадь треугольника:

Площадь треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height\), где "основание" (base) — это одна из сторон треугольника, а "высота" (height) — расстояние от вершины треугольника до его основания.

В данном случае, можно взять сторону между точками \((0, 2)\) и \((3, 0)\) в качестве основания, а расстояние от точки \((3, 0)\) до прямой \(2x + 3y - 6 = 0\) в качестве высоты.

Расстояние от точки \((3, 0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\) вычисляется по формуле:

\[d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

В данном случае, \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = -6\), \(x_1 = 3\), \(y_1 = 0\).

\[d = \frac{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|6 - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{0}{\sqrt{13}} = 0\]

Таким образом, высота треугольника равна 0.

Теперь мы можем использовать формулу для площади:

\[S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot 0 = 0\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной прямой \(2x + 3y - 6 = 0\) и осями координат, равна 0.