Question

Найдите минимум функции f(x) = -1/3x^3=4x^2-15x

Answer 1

F`(x)=-x²+8x-15=0
x²-8x+15=0
x1+x2=8 U x1*x2=15
x=3 U x=5
       _                  +                        _
---------------------------------------------------
             3                      5
           min                  max
y(3)=-1/3*27+4*9-15*3=-9+36-45=-18

Answer 2

Чтобы найти минимум функции f(x) = -1/3x^3 + 4x^2 - 15x, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю. Когда производная равна нулю, это обычно означает, что функция достигает экстремума, в данном случае - минимума.

Давайте найдем производную функции f(x) с помощью правила дифференцирования. Производная функции f(x) будет равна сумме производных каждого слагаемого:

f'(x) = d/dx (-1/3x^3) + d/dx (4x^2) - d/dx(15x)

Производная слагаемого -1/3x^3 равна: -1/3 * 3x^2 = -x^2 Производная слагаемого 4x^2 равна: 4 * 2x = 8x Производная слагаемого -15x равна: -15

Теперь сложим все производные:

f'(x) = -x^2 + 8x - 15

Чтобы найти точку, где производная равна нулю, мы должны решить уравнение f'(x) = 0:

-x^2 + 8x - 15 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, квадратного корня или квадратного дополнения. Давайте воспользуемся методом квадратного корня.

Сначала приведем уравнение в стандартную форму:

x^2 - 8x + 15 = 0

Теперь найдем два числа, которые складываются до -8 и умножаются до 15. Эти числа -3 и -5.

Теперь мы можем разбить -8x на -3x и -5x:

x^2 - 3x - 5x + 15 = 0

Теперь сгруппируем слагаемые:

(x^2 - 3x) + (-5x + 15) = 0

Теперь вынесем общие множители:

x(x - 3) - 5(x - 3) = 0

Теперь вынесем общий множитель (x - 3):

(x - 3)(x - 5) = 0

Это уравнение имеет два решения:

x - 3 = 0 => x = 3 x - 5 = 0 => x = 5

Таким образом, уравнение f'(x) = 0 имеет две точки, где производная равна нулю: x = 3 и x = 5.

Проверка на минимум

Чтобы убедиться, что эти точки являются минимумами функции, мы можем проанализировать знак производной в окрестностях каждой точки.

Давайте возьмем произвольную точку в интервале (2, 3), например x = 2. Вычислим значение производной в этой точке:

f'(2) = -(2)^2 + 8(2) - 15 = -4 + 16 - 15 = -3

Так как f'(2) < 0, это означает, что функция f(x) убывает в окрестности точки x = 2.

Теперь возьмем произвольную точку в интервале (3, 4), например x = 4. Вычислим значение производной в этой точке:

f'(4) = -(4)^2 + 8(4) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1

Так как f'(4) > 0, это означает, что функция f(x) возрастает в окрестности точки x = 4.

Таким образом, мы видим, что функция f(x) достигает минимума в точке x = 3.

Нахождение значения функции в точке минимума

Чтобы найти значение функции в точке минимума, мы можем подставить x = 3 в исходную функцию f(x):

f(3) = -1/3(3)^3 + 4(3)^2 - 15(3)

f(3) = -1/3 * 27 + 4 * 9 - 45

f(3) = -9 + 36 - 45

f(3) = -9

Таким образом, минимум функции f(x) = -1/3x^3 + 4x^2 - 15x достигается в точке x = 3, и его значение равно -9.