Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2) и x+y=a

Answer 1

выразим y:

 x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2)
y^(1/2) = a^(1/2) - x^(1/2)
y =  [a^(1/2) - x^(1/2)]^2 = a + x - 2(ax)^(1/2);

 

x+y=a

y = a - x

Найдем точки пересечения этих функций, приравняв их:

 a + x - 2(ax)^(1/2) = a - x

2x = 2(ax)^(1/2)

x = (ax)^(1/2)

x^2 = ax
x^2 - ax = 0

x(x - a) = 

x = 0 и x = a точки пересечения

Площадь фигуры - это интеграл, где точки пересечения - это пределы интегрирования

$> </span></p><p><span><img src=$

Answer 2

Для решения данной задачи определим, какие геометрические фигуры ограничены уравнениями x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) и x + y = a.

Уравнение x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) представляет собой уравнение кривой с корнями x и y. Это уравнение определяет часть параболы, которая лежит в первом квадранте на плоскости.

Уравнение x + y = a представляет собой уравнение прямой на той же плоскости.

Область пересечения параболы и прямой

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения. Для этого можно решить систему уравнений:

x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) x + y = a

Выразим y из второго уравнения: y = a - x. Подставим это значение в первое уравнение:

x^(1/2) + (a - x)^(1/2) = a^(1/2)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

x + 2*(x^(1/2))*(a - x)^(1/2) + (a - x) = a

Раскроем скобки и упростим выражение:

2*(x^(1/2))*(a - x)^(1/2) + x - x + a = a

2*(x^(1/2))*(a - x)^(1/2) = 0

Так как a - x > 0, чтобы уравнение имело решение, мы должны иметь x^(1/2) = 0. Это означает, что x = 0.

Площадь фигуры

Таким образом, фигура, ограниченная уравнениями x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) и x + y = a, состоит только из одной точки (0, a).

Площадь этой фигуры равна 0, так как это точка и не имеет площади.

Окончательный ответ: Площадь фигуры, ограниченной уравнениями x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) и x + y = a, равна 0.