Question

1-2. Провести полное исследование функций (1. ОДЗ, (асимптоты), 2. у(-х) парная - непарная, 3. нули функции, 4. у'=0, min, max, 5. у''=0, точки перегиба) и построить их графики 1. у =lnx/ 2. y = x*e^(1/x) 3.Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = f (x) на от- резкую [a; b]y = ((x +1)/x)^3, [1; 2]

Answer 1

Вложение ...........................................

Answer 2

ОДЗ (область допустимых значений) и асимптоты функции y = ln(x) + 2

Для функции y = ln(x) + 2, областью допустимых значений (ОДЗ) является интервал (0, +∞), так как логарифм натурального числа определен только для положительных чисел.

Асимптоты: 1. Горизонтальная асимптота: У функции y = ln(x) + 2 нет горизонтальной асимптоты. 2. Вертикальная асимптота: У функции y = ln(x) + 2 есть вертикальная асимптота x = 0. Это происходит из-за того, что логарифм натурального числа не определен для x ≤ 0.

Парность-непарность функции y = x * e^(1/x)

Для функции y = x * e^(1/x), она является ни парной, ни непарной функцией. Это связано с тем, что функция содержит как четные, так и нечетные компоненты.

Нули функции y = x * e^(1/x)

Чтобы найти нули функции y = x * e^(1/x), мы должны решить уравнение x * e^(1/x) = 0. Однако, уравнение не имеет нулевых решений, так как экспоненциальная функция e^(1/x) всегда положительна, а умножение на x не может дать ноль.

y' = 0, минимум и максимум функции y = ((x + 1)/x)^3, [1; 2]

Для нахождения точек, где производная функции y = ((x + 1)/x)^3 равна нулю, мы должны решить уравнение y' = 0.

Вычислим производную функции: y' = 3 * ((x + 1)/x)^2 * ((-1)/x^2) = 3 * ((x + 1)/x)^2 * (-1/x^2)

Уравнение y' = 0 примет вид: 3 * ((x + 1)/x)^2 * (-1/x^2) = 0

Упростим уравнение: ((x + 1)/x)^2 * (-1/x^2) = 0

Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю: ((x + 1)/x)^2 = 0 или (-1/x^2) = 0

Решим первое уравнение: ((x + 1)/x)^2 = 0 (x + 1)/x = 0 x + 1 = 0 x = -1

Решим второе уравнение: (-1/x^2) = 0 -1 = 0 (нет решений)

Таким образом, единственная точка, где производная функции равна нулю, это x = -1.

Чтобы найти минимум и максимум функции y = ((x + 1)/x)^3 на отрезке [1; 2], мы должны проверить значения функции в крайних точках и в точке, где производная равна нулю.

Вычислим значения функции в крайних точках: y(1) = ((1 + 1)/1)^3 = 2^3 = 8 y(2) = ((2 + 1)/2)^3 = (3/2)^3 = 27/8

Также вычислим значение функции в точке x = -1: y(-1) = ((-1 + 1)/(-1))^3 = (0/(-1))^3 = 0

Таким образом, на отрезке [1; 2] функция y = ((x + 1)/x)^3 достигает минимума в точке x = -1 (значение функции равно 0) и максимума в точке x = 2 (значение функции равно 27/8).

y'' = 0, точки перегиба функции y = ((x + 1)/x)^3

Для нахождения точек перегиба функции y = ((x + 1)/x)^3, мы должны найти значения x, при которых вторая производная функции равна нулю.

Вычислим вторую производную функции: y'' = (d^2y)/(dx^2) = (d/dx)(3 * ((x + 1)/x)^2 * (-1/x^2)) = (d/dx)(3 * ((x + 1)/x)^2) * (-1/x^2) = 3 * (d/dx)(((x + 1)/x)^2) * (-1/x^2) = 3 * 2 * ((x + 1)/x) * (d/dx)((x + 1)/x) * (-1/x^2) = 6 * ((x + 1)/x) * ((d/dx)((x + 1)/x)) * (-1/x^2) = 6 * ((x + 1)/x) * (((d/dx)(x + 1))/x - ((d/dx)(x))/x^2) * (-1/x^2) = 6 * ((x + 1)/x) * ((1/x - 1/x^2) * (-1/x^2)) = 6 * ((x + 1)/x) * ((-1/x^3 + 1/x^2) * (-1/x^2)) = 6 * ((x + 1)/x) * (1/x^3 - 1/x^2) * (1/x^2) = 6 * ((x + 1)/x) * (1/x^3 - 1/x^2) / x^2

Уравнение y'' = 0 примет вид: 6 * ((x + 1)/x) * (1/x^3 - 1/x^2) / x^2 = 0

Упростим уравнение: ((x + 1)/x) * (1/x^3 - 1/x^2) / x^2 = 0

Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю: ((x + 1)/x) = 0 или (1/x^3 - 1/x^2) = 0 или (1/x^2) = 0

Решим первое уравнение: ((x + 1)/x) = 0 x + 1 = 0 x = -1

Решим второе уравнение: (1/x^3 - 1/x^2) = 0 1/x^3 = 1/x^2 x^2 = x^3 x^3 - x^2 = 0 x^2 * (x - 1) = 0 x^2 = 0 или x - 1 = 0 x = 0 или x = 1

Таким образом, точки перегиба функции y = ((x + 1)/x)^3 это x = -1, x = 0 и x = 1.

Построение графиков




На графиках выше представлены графики функций y = ln(x) + 2, y = x * e^(1/x) и y = ((x + 1)/x)^3 соответственно.