Question

Сумма положительных чисел a,b,c равна п/2. Докажите что cosa+cosb+cosc>sina+sinb+sinc

Answer 1

Решение прицеплено в картинке.

Answer 2

Давайте рассмотрим триугольник ABC, где углы A, B и C соответствуют углам в точках a, b и c. Также, пусть a, b и c — длины сторон треугольника. По условию задачи, сумма положительных чисел a, b и c равна p/2, где p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2).

Мы знаем, что для треугольника выполняется формула полупериметра p = a + b + c, исходя из этого:

\[p/2 = (a + b + c)/2\]

Отсюда следует:

\[a + b + c = p\]

Теперь рассмотрим тригонометрические соотношения для углов треугольника ABC:

\[cosA = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\] \[cosB = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\] \[cosC = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Теперь умножим каждое из этих уравнений на соответствующую сторону (a, b или c) и сложим:

\[a \cdot cosA + b \cdot cosB + c \cdot cosC = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}\]

Теперь рассмотрим тригонометрические соотношения для синусов углов:

\[sinA = \sqrt{1 - cos^2A}\] \[sinB = \sqrt{1 - cos^2B}\] \[sinC = \sqrt{1 - cos^2C}\]

Теперь умножим каждое из этих уравнений на соответствующую сторону (a, b или c) и сложим:

\[a \cdot sinA + b \cdot sinB + c \cdot sinC = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{4}}\]

Теперь рассмотрим выражение, которое нужно доказать:

\[cosa \cdot cosb \cdot cosc > sina \cdot sinb \cdot sinc\]

Подставим предыдущие результаты в это выражение:

\[\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} > \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{4}}\]

Возведем обе части в квадрат и упростим:

\[a^2 + b^2 + c^2 > \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{4}\]

Умножим обе части на 4:

\[4(a^2 + b^2 + c^2) > (a^2 + b^2 + c^2)^2\]

Раскроем скобки:

\[4a^2 + 4b^2 + 4c^2 > a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\]

Упростим:

\[3a^2 + 3b^2 + 3c^2 > 2ab + 2ac + 2bc\]

Теперь заметим, что:

\[a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc\]

Это следует из неравенства Коши-Буняковского. Таким образом, у нас есть:

\[3(a^2 + b^2 + c^2) > 2(a^2 + b^2 + c^2)\]

И, наконец, после упрощения:

\[a^2 + b^2 + c^2 > 0\]

Это неравенство всегда верно для ненулевых значений a, b и c. Следовательно, исходное неравенство \[cosa \cdot cosb \cdot cosc > sina \cdot sinb \cdot sinc\] также верно для треугольника ABC.