Question

(x^4-13x^2+36)/((x-3)(x+2))=y При каком y уравнение имеет 1 корень?

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра y, при которых уравнение \(\frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x-3)(x+2)} = y\) имеет один корень, можно воспользоваться условием, при котором дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Когда у квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант \(D\) равен нулю, уравнение имеет один корень.

В данном случае у нас есть рациональная функция, и мы хотим, чтобы числитель этой функции (который представляет собой многочлен \(x^4 - 13x^2 + 36\)) был квадратным относительно \(x\). Таким образом, мы хотим, чтобы у многочлена был вид \((x^2 - a)^2\), где \(a\) - это некоторая константа.

Раскроем квадрат в выражении \((x^2 - a)^2\):

\((x^2 - a)^2 = (x^2 - a)(x^2 - a) = x^4 - 2ax^2 + a^2\)

Теперь сравним это с нашим числителем \(x^4 - 13x^2 + 36\):

\(x^4 - 2ax^2 + a^2 = x^4 - 13x^2 + 36\)

Сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях \(x\):

1. Для \(x^4\): коэффициенты равны, следовательно, \(a = 0\). 2. Для \(x^2\): коэффициенты равны, следовательно, \(-2a = -13\), отсюда \(a = \frac{13}{2}\).

Таким образом, мы находим, что числитель можно представить в виде квадрата:

\((x^2 - \frac{13}{2})^2\)

Теперь у нас есть значение параметра \(y\):

\[y = \frac{x^2 - \frac{13}{2}}{(x-3)(x+2)}\]

Это уравнение будет иметь один корень, когда знаменатель равен нулю (так как в таком случае рациональная функция будет неопределенной). Таким образом, уравнение будет иметь один корень при \(x = 3\) или \(x = -2\).

Таким образом, при \(y = \frac{x^2 - \frac{13}{2}}{(x-3)(x+2)}\) уравнение имеет один корень при \(x = 3\) или \(x = -2\).