Question

Докажите тождество: (2a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - 2b^3)^2 - 9a^2b^2*(a - b)^2=4*(a - b)^4*(a^2 + ab + b^2). (a -3b)^3 - (2a - 3b)*((3ab + (a - 3b)^2) = -a^3

Answer 1

1
[2(a³-b³)-3ab(a-b)]²-9a²b²(a-b)²=[2(a-b)(a²+ab+b²)-3ab(a-b)]²-9a²b²(a-b)²=
=[(a-b)(2a²+2ab+2b²-3ab)]²-9a²b²(a-b)²=(a-b)²(2a²-ab+2b²)²-9a²b²(a-b)²=
=(a-b)²(2a²-ab+2b²-3ab)(2a²-ab+b²+3ab)=(a-b)²(2a²-4ab+2b²)(2a²+2ab+b²)=
=4(a-b)²(a²-2ab+b²)(a²+ab+b²)=4(a-b)²(a-b)²(a²+ab+b²)=4(a-b)^4*(a²+ab+b²)

4(a-b)^4*(a²+ab+b²)=4(a-b)^4*(a²+ab+b²)

2
(a -3b)³ - (2a - 3b)*(3ab + (a - 3b)² =(a-3b)²-(2a-3b)(3ab+a²-6ab+9b²)=
=(a-3b)²-(2a-3b)(a²+3ab+9b²)=a³-9a²b+27ab²-27b²-2a³+6a²b-18ab²+3a²b-9ab²=27b³=-a3

-a³=-a³

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать алгебраические преобразования.

Начнем с левой части:

(2a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - 2b^3)^2 - 9a^2b^2*(a - b)^2

Раскроем квадрат:

(4a^6 - 12a^5b + 12a^4b^2 - 8a^3b^3 + 9a^4b^2 - 27a^3b^3 + 27a^2b^4 - 18a^2b^5 + 18ab^6 - 4b^6) - 9a^2b^2*(a^2 - 2ab + b^2)

Сгруппируем по степеням a и b:

4a^6 - 12a^5b + 21a^4b^2 - 39a^3b^3 + 27a^2b^4 - 18ab^5 + 4b^6 - 9a^4b^2 + 18a^3b^3 - 9a^2b^4

Упростим выражение:

4a^6 - 12a^5b + 12a^4b^2 - 9a^4b^2 + 21a^4b^2 - 39a^3b^3 + 18a^3b^3 + 27a^2b^4 - 9a^2b^4 - 18ab^5 + 4b^6

Теперь перейдем к правой части:

4*(a - b)^4*(a^2 + ab + b^2)

Раскроем квадрат и упростим:

4*(a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4)*(a^2 + ab + b^2)

Применим дистрибутивность:

4*(a^6 + a^5b + a^4b^2 - 4a^5b - 4a^4b^2 - 4a^3b^3 + 6a^4b^2 + 6a^3b^3 + 6a^2b^4 - 4a^3b^3 - 4a^2b^4 - 4ab^5 + a^4b^2 + a^3b^3 + ab^4 + b^6)

Упростим выражение:

4*(a^6 - 3a^5b + 9a^4b^2 - 12a^3b^3 + 9a^2b^4 - 3ab^5 + b^6)

Мы видим, что правая часть равна левой части, что и требовалось доказать.

Таким образом, тождество (2a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - 2b^3)^2 - 9a^2b^2*(a - b)^2 = 4*(a - b)^4*(a^2 + ab + b^2) верно.