Question

Найдите f ' (x) если f(x) = √x + 1 / 3√x

Answer 1

 

f(x) = √x + 1 / 3√x

f`(x)=(x^(1/2) + 1/3 * x^(-1/2))`=

        =1/(2sqrt{x}) +1/3 *(-1/2)*x^(-3/2)=

        =1/(2sqrt{x}) - 1/(6xsqrt{x})=

        =(3x-1)/(6xsqrt{x})

Answer 2

Конечно, для того чтобы найти производную \( f'(x) \) функции \( f(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} \), воспользуемся правилом дифференцирования.

Сначала представим функцию \( f(x) \) в виде, удобном для дифференцирования:

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} = (\sqrt{x} + 1) \cdot x^{-1/3} \]

Теперь найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования произведения и степенной функции:

\[ f'(x) = \left(\frac{d}{dx}(\sqrt{x} + 1)\right) \cdot x^{-1/3} + (\sqrt{x} + 1) \cdot \left(\frac{d}{dx}(x^{-1/3})\right) \]

Производные частей выражения:

\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ \frac{d}{dx}(x^{-1/3}) = -\frac{1}{3}x^{-4/3} \]

Теперь подставим эти значения обратно в \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x^{-1/3} + (\sqrt{x} + 1) \cdot \left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}\right) \]

Сокращаем и упрощаем:

\[ f'(x) = \frac{1}{2x\sqrt{x}} - \frac{1}{3}x^{-4/3}(\sqrt{x} + 1) \]

Это и есть производная \( f'(x) \) исходной функции \( f(x) \).